算法導論-動態規劃(鋼條切割問題）

  動態規劃(dynamic programming)與分之方法類似，都是經過組合子問題的解來求解原問題。分治方法將問題劃分爲互不相交的子問題，遞歸地求解子問題，再將它們的解組合起來，求出原問題的解(如歸併排序)。而動態規劃應用於子問題重疊的狀況，即不一樣的子問題具備公共的子子問題(子問題的求解是遞歸進行的，將其劃分爲更小的子子問題)。在這種狀況下，分治算法會作許多沒必要要的工做，它會反覆地求解那些公共子子問題。而動態規劃算法對每一個子子問題只求解一次，將其解保存在一個表格中，從而無需每次求解一個子子問題時都從新計算，避免了沒必要要的計算工做。

    一般按以下4個步驟來設計一個動態規劃算法：

    1.刻畫一個最優解的結構特徵。

    2.遞歸地定義最優解的值。

    3.計算最優解的值，一般採用自底向上的方法。

    4.利用計算出的信息構造一個最優解。

例子：鋼條切割問題

    描述：給定一段長度爲n英寸的鋼條和一個價格表p_i(i = 1,2,3...,n)求切割鋼條方案，使得銷售收益r_n最大。

    鋼條價格表

長度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
價格pi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

   若是一個最優解將鋼條切割爲k段(1≤k≤n)，那麼最優切割方案 n = i₁ + i₂ + i₃ +...+ i_k，獲得最大收益 r_n  = p_i1 + p_i2 + p_i3 + ... + p_ik。更通常地，對於 r_n(n ≥ 1)，咱們能夠用更短的鋼條的最優切割收益來描述它：r_n = max(p_{n ，} r₁ + r_n-1 ， r₂ + r_n-2， ...， r_n-1 + r₁)，第一個參數p_n對應不切割，直接出售長度爲n的鋼條的方案。其餘n-1個參數對應另外n-1種方案：對每一個i  = 1，2，...，n-1，首先將鋼條切割爲長度爲i 和 n -i 的兩段，接着求解這兩段的最優切割收益r_i 和r_n-i。因爲沒法預知哪一種方案會得到最優收益，咱們必須考察全部可能的i，選取其中收益最大者。

    注意到，爲求解規模爲n的原問題，咱們先求解形式徹底同樣，但規模更小的子問題。即當完成首次切割後，咱們將兩段鋼條當作兩個獨立的鋼條切割問題實例。經過組合兩個關於子問題的最優解，並在全部可能的切割方案中選取組合收益最大者，構成原問題的最優解。動態規劃方法仔細安排求解順序，對每一個子問題只求解一次，並將結果保存下來。是付出額外的內存空間來節省計算時間。有兩種等價的實現方法：

       一，帶備忘的自頂向下法。此方法按天然的遞歸形式編寫過程，但過程會保存每一個子問題的解，當須要一個子問題的解時，過程首先檢查是否已經保存過此解。若是是，則直接返回保存的值，從而節省了計算時間；不然，按一般方式計算這個子問題。

       二，自底向上法。這種方法通常須要恰當定義子問題"規模"的概念，使得任何子問題的求解只依賴於"更小"的子問題的求解。於是能夠將子問題按規模排序，按由小到大的順序進行求解。當求解某個子問題時，它所依賴的那些更小的子問題都已求解完畢，結果已經保存。

自底向上法代碼以下：

 1 void bottomUpCutRod(const vector<int> &p,int n , vector<int> &r)
 2 {
 3     r.resize(n+1);
 4     r[0] = 0;
 5     int q = -1;
 6 
 7     for(int j = 1; j <= n; ++j){
 8         q = -1;
 9         for(int i = 1; i <= j; ++i){
10             q = std::max(q,p[i] + r[j-i]);
11         }
12         r[j] = q;
13     }
14 }

例子：

1 int main()
2 {
3     int p[] = {-1,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
4     vector<int> vp(p,p + sizeof(p)/sizeof(int));
5     vector<int> result;
6     bottomUpCutRod(vp,9,result);
7     for(int i = 1; i <=9; ++i)
8         cout << result[i] << " ";
9 }

結果保存在result數組中，長度爲i的鋼條切割的最優收益值爲result[i]。

輸出：