【等價轉換】—— min/max 的轉換與互相轉換

0. min 與 max 的轉換

⎧⎩⎨⎪⎪max(X,Y)=X+Y−min(X,Y)min(X,Y)=X+Y−max(X,Y)min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y $$\{\begin{array}{rl}& max\left(X,Y\right)=X+Y-min\left(X,Y\right)\\ & min\left(X,Y\right)=X+Y-max\left(X,Y\right)\\ & min\left(X,Y\right)+max\left(X,Y\right)=X+Y\end{array}$$

1. max(X,Y)=n $max(X,Y)=n$ 的機率求解

將 max(X,Y) $max(X,Y)$ 或 min(X,Y) $min(X,Y)$ 首先轉換爲聯合機率的形式，進一步經過如變量間的獨立性簡化計算：

max(X,Y)=n $max(X,Y)=n$ 可拆分紅以下三項：

• X=n,Y<n $X=n,Y<n$
• X<n,Y=n $X<n,Y=n$
• X=n,Y=n $X=n,Y=n$

固然可將第三項合併到前兩項的任意一項中。

則其：

Pr(max(X,Y)=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y≤n) $$\begin{array}{rl}Pr(max(X,Y)=n)& =Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)\\ & =Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y\le n)\end{array}$$

同理可將 min(X,Y)=n $min(X,Y)=n$ 拆分爲以下三項：

• X>n,Y=n $X>n,Y=n$
• X=n,Y>n $X=n,Y>n$
• X=n,Y=n $X=n,Y=n$