[CSAPP筆記]Binary , Unsigned , Signed 之間的相互裝換

LaTex+MarkDown+Pandoc組合套件寫博客的處女做，試試效果。各自的分工爲：Latex下編輯公式，在Sublime Text 2下使用Markdown排版，最後用Pandoc導出。

摘要

本文主要講解 Binary , Unsigned , Signed 三種數據中任意二者之間的轉換。下面是文中的一些約定寫法。

• 轉換名稱
  • B2U_w(x) : 將位數爲w的二進制數 binary 轉換爲無符號數Unsigned
  • B2T_w(x) : 將位數爲w的二進制數 binary 轉換爲補碼 Two's complement
• 二進制數的表示 (x) : 用一個向量表示，x = ( x₁ , x₂ , ... , x_w)

1. U2B_w(x)

直接用展轉相除法便可。

2. S2B_w(x)

正數直接裝換，而後左邊添加0 ； 負數先將其絕對值裝換成二進制數，再對低w-1位取反，最高位添加1，用公式表示即爲： 下面以三位的三進制數來講明有符數的補碼錶示

• 3 = 011
• 2 = 010
• 1 = 001
• 0 = 000
• -1 = 111
• -2 = 110
• -3 = 101
• -4 = 100

3. B2U_w(x)

\begin{equation} B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq \sum_{i=0}^{w-1} x_i 2^i \label{B2U} \end{equation}

4. B2T_w(x)

\begin{equation}B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq -x_{w-1} 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i 2^i \label{B2T} \end{equation}

5. T2U_w(x)

函數 T2U_w(x) 定義爲 T2U_w(x) = T2B_w(B2U_w(x)) 。這個函數輸入的是一個 -2^(w-1) ~ 2^(w-1)-1 之間的數，而輸出的無符數也即爲該有符數的補碼錶示。
對於位模式 下的有符二進制數 $\overrightarrow{x}$ ，對比式($\ref{B2U}$) 和式($\ref{B2T}$) , 計算二者之差，咱們就能夠獲得：$ B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) - B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1}  \left( 2^{w-1} - \left( -2^{w-1} \right) \right)  =  x_{w-1} 2^w $ 。這樣就獲得了：$B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} 2^w + B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right)$。若令 $\overrightarrow{x} = T2B_w \left( x \right) $ ，則其反函數爲 $ x = B2T_w \left( \overrightarrow{x} \right) $。  由前面三式以及T → B → U變換的傳遞性，可得：

\begin{equation} B2U_w\left( T2B_w \left( x \right) \right) = T2U_w \left( x \right) = x_{w-1} 2^w + x \label{T2U} \end{equation}
這個關係對於理解「有符數變換獲得的無符數也即補碼」頗有用。 

$$ T2U_w \left( x \right)=\left\{
\begin{aligned}
& x+2^w, & x<0,x_{w-1}=1 \\
& x, & x \geq 0,x_{w-1}=0 
\end{aligned}
\right.$$

下圖說明了 T2U 的轉換行爲：對於非負數（x ≥ 0）, T2U 保留原值 ：

圖1.　從補碼到無符號數的轉換。函數 將負數轉換爲大的正數

6. U2T_w(x)

函數 U2T_w(x) 定義爲 U2T_w(x) = B2T_w(U2B_w(x)) 。這個函數輸入的是一個 0 ~ 2^(w-1)-1 之間的數，輸出則爲一個 -2^w ~ 2^(w-1) 之間的數。
上一節咱們已經獲得，對於負數（x < 0）,T2U 被裝換爲一個大於2^w − 1的正數。
反過來，咱們再來推導無符號數 u 和與之對應的有符號數 U2T_w(u)之間的關係。 利用上一節的結論， $B2T_w\left( \overrightarrow{u} \right) = B2U_w\left( \overrightarrow{u} \right) - u_{w-1} 2^w$ 。若令 $\overrightarrow{u} = U2B_w \left( u \right)$，則其反函數爲 $u = B2U_w \left( \overrightarrow{x} \right)$ 。由前面三式以及 T → B → U 變換的傳遞性，可得：

\begin{equation}B2T_w\left( U2B_w \left( u \right) \right) = U2T_w \left( u \right) = u - u_{w-1} 2^w \label{U2T} \end{equation}

在 u 原始的無符號表示法中，最高位u_w − 1決定了 u 是否大於或等於 2^w − 1, 無符數 u 到有符數的裝換分段表示爲：

$$ U2T_w \left( u \right)=\left\{
\begin{aligned}
& u, & u<2^{w-1},x_{w-1}=0 \\
& u-2^w, & x \leq 0,x_{w-1}=1
\end{aligned}
\right.$$

下圖說明了 U2T 轉換行爲：對於小的數（u < 2^w − 1）, U2T 保留原值 ； 對於大的數（u ≥ 2^w − 1）,U2T 被裝換爲一個負數：

圖2.從無符號數到補碼的轉換。函數U2T 把大於 的數字轉換爲負值

練習

1.以下函數，在32bit系統中，求問foo(2^31-3)的值是：

int foo(int x) { 
    return x&-x; 
}

A.0  B.1  C.2   D.4

解答：

• (1).運算符號的優先級，減號 '-' 高於異或 '^' 。因此 2^31-3=2(31-3)=2^28=30
• (2).32位機器中int整型的位數的爲 w=32 ，位運算 x 取反,其實爲 0xFFFFFFFF-x ,而不是用 2³² 減去。
• (3).本題中，x=30=0x1E ,依據 T2U_w 可得 -x=0xFFFFE2,因此_x&-x=2_,本題選B
• (4)有麼有更簡單方法。

y = x & (-x)
That does a bitwise AND between the variable x and its negation, and assigns the result to the variable y. If your system uses two's complement signed arithmetic , then what that manages to get you is the greatest power of 2 that is a factor of x. So, if x is 24, y gets assigned 8, and if x is 12, y gets assigned 4, and if x is 99, y becomes 1. To understand why it does that, you need to understand binary, and two's complement. Look them up on wikipedia.

• 用 15, 16 ,48 三個數驗證結論
  • x=15=0x0F , -x=-15=2³²-0x0F=0xFFFFFFF1 , 因此 x&-x=0xF1 & 0x0F = 1 ;
  • x=16=0x10 , -x=-16=2³²-0x10=0xFFFFFF0 , 因此 x&-x=0xF0 & 0x10 = 16
  • x=48=0x30 , -x=-48=2³²-0x30=0xFFFFFD0 , 因此 x&-x=0xD0 & 0x30 = 16
• 總結起來就是, x&-x 獲得的是數x的最低一位的非0比特數。

reference

1. CASPP

2. yahoo關於y = x & (-x)問題的解答