洛谷 題解 UVA10048 【噪音恐懼症 Audiophobia】

【題意】

輸入一個\(C\)個點\(S\)條邊 \((C<=100)\) \((S<=1000)\)的無向帶權圖，邊權表示該路徑上的噪聲值。當噪聲太大時，耳膜可能會收到損傷，因此當你從某點去往另外一個點時，老是但願路上通過的噪聲最大值最小。輸入一些詢問，每次詢問兩個點，求出這兩點間最大噪聲值最小的路徑。輸出其最大噪聲值

【算法】

\(Floyd\)

【分析】

本題的作法十分簡單：直接用\(Floyd\)算法，可是要把\(+\)改爲\(min\)，\(min\)改爲\(max\)。

爲何能夠這樣作呢？ 大部分題解都沒給出證實，這裏給出證實過程

• 證實過程

無論是\(Floyd\)仍是\(Dijkstra\)算法，都是基於這樣一個事實：對於任意一條至少包含兩條邊的路徑i->j,必定存在某一箇中間點k使得i->j的總長度等於i->k與k->j的長度之和。對於不一樣的點k，i->k和k->j的長度之和可能不一樣，最後還須要取一個最小值纔是i->j的最短路徑。把剛纔推理中「之和」與「取最小值」換成「取最小值」和「取最大值」，推理仍然適用

【代碼】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,Q;
int g[110][110];
int T;
inline int read()
{
    int tot=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        tot=tot*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return tot;
}
int main()
{
    n=read();m=read();Q=read();
    while(1)
    {
        T++;
        memset(g,0x3f,sizeof(g));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x=read(),y=read(),z=read();
            g[x][y]=z;
            g[y][x]=z;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    g[i][j]=min(g[i][j],max(g[i][k],g[k][j]));
                }
            }
        }
        cout<<"Case #"<<T<<endl;
        while(Q--)
        {
            int x=read(),y=read();
            if(g[x][y]==0x3f3f3f3f)cout<<"no path\n";
            else cout<<g[x][y]<<endl;
        }
        n=read();m=read();Q=read();
        if(n||m||Q)cout<<endl;
        else break;
    }
    return 0;
}