橢圓曲線加密算法原理解析（ECC）

前言

隨着計算機性能的提高，市面上的加密技術愈來愈不安全，1024位的RSA私鑰加密已經能夠破解，目前有效的手段只是將1024位換成2048位，但隨着技術的進步，RSA算法的破解難度會愈來愈低，所以須要用更安全的加密算法來代替，下面咱們來介紹更爲安全的ECC公鑰加密算法
什麼是ECC
ECC是Elliptic Curve Cryptography（橢圓曲線密碼學）的縮寫，是一種基於橢圓曲線數學的公開密鑰加密算法，其本質是利用離散對數問題實現加密。
ECC的主要優點，是在使用更小的密鑰的同時，提供更快的性能和更高等級的安全。
什麼是橢圓曲線
Wolfram MathWorld（線上數學百科全書，http://mathworld.wolfram.com） 給出了很是精準的定義：
一條橢圓曲線就是一組被 y^2 = x^3 + ax + b 定義的且知足 4a^3 + 27b^2 ≠ 0 的點集。
4a^3 + 27b^2 ≠ 0 這個限定條件是爲了保證曲線不包含奇點（在數學中是指曲線上任意一點都存在切線）。
橢圓曲線示例圖：

不一樣的橢圓曲線對應不一樣的形狀（b=1，a從2到-3)

左（帶銳點）：y^2 = x^3
     右（曲線自交）：y^2 = x^3 -3x + 2
      都不是有效的橢圓曲線

關於阿貝爾羣(abelian group)

阿貝爾羣的概念是抽象代數的基本概念之一，是一種代數結構，由一個集合以及一個二元運算所組成。
若是一個集合或者運算是羣的話，就必須知足如下條件（+ 表示二元運算）：
一、封閉性（closure），若是a和b被包含於羣，那麼a+b也必定是羣的元素；
二、結合律(associativity)；
三、存在一個單位元（identity element）0，0與任意元素運算不改變其值的元素，即 a+0 = 0+a = a；
四、每一個元素都存在一個逆元(inverse)；
五、交換律(commutativity)，即 a+b = b+a；

橢圓曲線中的阿貝爾羣

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咱們能夠在橢圓曲線上定義一個羣：
一、羣中的元素就是橢圓曲線上的點；
二、單位元就是無窮處的點0；
三、相反數P，是關於X軸對稱的另外一邊的點；
四、二元運算規則定義以下：取一條直線上的三點（這條直線和橢圓曲線相交的三點），P, Q, R（皆非零），他們的總和等於0，
P+Q+R=0。

若是P, Q, R在一條直線上的話，他們知足:

P+(Q+R)=Q+(P+R)=R+(P+Q)=⋯=0。

當P，Q點爲同一點時,P=Q，知足：

這樣，咱們能夠直觀的證實：+運算符是符合交換律和結合律的，這是一個阿貝爾羣。
由於阿貝爾羣知足交換律和結合律，因此點P和點-R的二元運算結果必會在曲線上，即P+P+P的結果必會在曲線上的另外一點Q，
以此類推，能夠得出得出：

Q=kP(k個相同的點P進行二元運算（數乘）,記作kP)

離散對數問題

前文中有提到離散對數問題，咱們熟悉的RSA算法，是基於大數的質因數分解，即對兩個質數相乘容易，而將其合數分解很難的這個特色進行加密。
而ECC算法是在有限域Fp定義公式：Q=kP，已知大數k和點P的狀況下，很容易求點Q，可是已知的點P、點Q，卻很難求得k，這就是經典的離散對數問題，ECC算法正是利用該特色進行加密，點Q爲公鑰，大數k爲私鑰，點P爲基點，和RSA最大的實際區別，主要是密鑰長度

橢圓曲線加密算法原理

描述一條Fp上的橢圓曲線，經常使用到六個參量：T=(p,a,b,n,x,y)。
（p 、a 、b） 用來肯定一條橢圓曲線，p爲素數域內點的個數，a和b是其內的兩個大數；
x,y爲G基點的座標，也是兩個大數；
n爲點G基點的階；
以上六個量就能夠描述一條橢圓曲線，有時候咱們還會用到h(橢圓曲線上全部點的個數p與n相除的整數部分)。
如今咱們描述一個利用橢圓曲線進行加密通訊的過程：
一、選定一條橢圓曲線 Ep(a,b) 並取橢圓曲線上一點，做爲基點P。
二、選擇一個大數k做爲私鑰，並生成公鑰 Q=kP。
三、將 Ep(a,b) 和點Q、P傳給用戶。
四、用戶接到信息後 ，將待傳輸的明文編碼到Ep(a,b)上的一點M，併產生一個隨機整數r。
五、公鑰加密（密文C是一個點對）：
C={rP, M+rQ}
六、私鑰解密（M + rQ - k(rP) ，解密結果就是點M），公式以下：

M + rQ - k(rP) = M + r(kP) - k(rP) = M

七、對點M進行解碼就能夠獲得明文
假設在加密過程當中，有一個第三者H，H只能知道橢圓曲線 Ep(a,b)、公鑰Q、基點P、密文點C，而經過公鑰Q、基點P求私鑰k或者經過密文點C、基點P求隨機數r都是很是困難的，所以得以保證數據傳輸的安全。

ECC應用

由於在安全性、加解密性能、網絡消耗方面有較大優點，ECC加密算法大有取代RSA成爲下一代主流加密算法的趨勢。現在ECC應用範圍很廣，在TLS、區塊鏈（比特幣、以太坊等等）、SM2國密算法、證書、銀行政府機構等許多方面都有大量應用。