數字信號處理 基礎知識 對比回顧

1.非週期序列

　　非週期序列傅里葉變換FT：     

     

　　非週期序列傅里葉逆變換IFT：

      

      連續時間信號的傅里葉變換FT：

=

連續時間信號的傅里葉逆變換IFT：

(t) =

2.非週期序列傅里葉變換FT性質：

(1).週期性

       

(2).線性

       FT[a*x(n)+b*y(n)] = a*+b*

(3).時移與頻移

      FT[x(n - a)] = FT[x(n)]* = *

      FT[] =

(4).對稱性

      x(n) = 共軛對稱序列

     共軛對稱序列的實部是偶函數，虛部是奇函數

     eg:

     x(n) = = = cos(wn) + j sin(wn)

     x(n) = 共軛反對稱序列

     共軛反對稱序列的實部是奇函數，虛部是偶函數。

     

      

     

      = +

FT變換的實部爲共軛對稱；

FT變換的虛部爲反共軛對稱；

     若是爲實數，因此，FT變換共軛對稱，實部爲偶函數，虛部爲奇函數。

(5).時域卷積定理

      

      

(6).頻域卷積定理

      

      

(7).帕斯維爾定理

       

3.週期序列

週期序列的離散傅里葉級數DFS

      

       

離散傅里葉變換DFT：

      

離散傅里葉逆變換IDFT:

       x(n) = IDFT[X(k)] =

(1)FT與DFS之間關係以下：

        =

       =

(2)連續時間的傅里葉級數與連續時間傅里葉變換之間的關係：

         =

        

(3)離散信號的傅里葉變換與模擬信號的傅里葉變換關係：

        x(n) = (nT),  w =T，   

        =

       eg: x(t) = ，則 x(n) = ，則

(4)DFT與Z變換之間關係：

       X(k) = X(z)|z=, 0<=k<=N-1

(5)DFT與DFS之間關係：X(k)等於

 

4.時域採樣和頻域採樣

         時域採樣，對採樣率有要求限制，奈奎斯特定理。

         頻域採樣，若是序列x(n)的長度爲M，則頻域採樣點數N>=M，X(k)纔有可能恢復x(n)，不然產生時域混疊。

          = ;

 

 

5.截斷效應、譜間干擾、相位相干

        截斷後，使原來的譜線向附近頻率區域展寬泄露，譜分辨率變低，模糊。稱爲頻譜泄露。

 

對於 頻率爲fs的正弦序列，它的頻譜應該只是在fs處有 離散譜。可是，在利用DFT求它的頻譜時，

對時域作了截短，結果使信號的頻譜不僅是在fs處有離散譜，而是在以fs爲中心的頻帶範圍內都有譜

線出現，它們能夠理解爲是從fs頻率上「泄漏」出去的，這種現象稱 爲頻譜「泄漏」。

爲了減少頻譜「泄漏」的影響，每每在FFT處理中採用加窗技術，典型的加窗序列有Hamming、

Blackman、 Gaussian等窗序列。此外，增長窗序列的長度也能夠減小頻譜「泄漏」。

 

柵欄現象，也稱柵欄效應，對一函數實行採樣，便是抽取採樣點上的對應的函數值。

其效果如同透過柵欄的縫隙觀看外景同樣，只有落在縫隙前的少數景象被看到，

其他景象均被柵欄擋住而視爲零，這種現象稱爲柵欄效應。

 

Fourier series (傅立葉級數)展開後，選取有限項進行合成。當選取的項數越多，

在所合成的波形中出現的峯起越靠近原信號的不連續點。當選取的項數很大時，

該峯起值趨於一個常數，大約等於總跳變值的9%。這種現象稱爲吉布斯現象。

 

         

         主譜線兩邊造成不少旁瓣，引發不一樣頻率份量間的干擾，影響頻譜分辨率，稱爲譜間干擾。

         相位相干：振動頻率相同、相差恆定的叫作相干性。

 

6.IIR數字濾波器和FIR數字濾波器

經典數字濾波器能夠分爲IIR數字濾波器和FIR數字濾波器。

FIR數字濾波器的實現

這類濾波器對於脈衝輸入信號的響應最終趨向於0

       （1）FIR濾波器的設計比較簡單，設計一個數字濾波器去逼近一個理想濾波器，理想有限帶寬濾波器的時域是無限序列，一般用窗函數法去截取。

       （2）非遞歸的，階數通常比同性能的IIR濾波器要高5~10倍，延時大些，它只與過去和如今的樣本點輸入有關，穩定性好，脈衝響應爲有限序列。

       （3）嚴格的線性相位，不一樣頻率份量的信號經過時，它們的時間差不變。

        

IIR數字濾波器的實現

因爲無限脈衝響應濾波器中存在反饋迴路，所以對於脈衝輸入信號的響應是無限延續的。

        (1)能夠藉助成熟的模擬濾波器，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。

        (2)它是遞歸的，它不只與過去和如今的樣本點輸入有關，還與過去的輸出點有關，不穩定， 脈衝響應爲無限序列。

        (3) 非嚴格線性相位，用於相位信息不敏感的音頻信號上。

       

7.三種濾波器性能對比

切比雪夫濾波器：滾降性好，缺點有通帶波紋

橢圓濾波器：  過渡帶最窄，選擇性好，通帶和阻帶是等波紋

巴特沃斯濾波器：通帶最爲平坦

貝塞爾濾波器：階躍響應最好，不會有過沖或者振鈴現象。

8.同態處理：將非線性處理問題轉化爲線性處理問題。另外，線性預測分析技術也能夠用來解卷積

eg:乘法轉成加法

9.功率譜

穩態信號

     1.週期圖法：一種信號功率譜密度估計方法。它的特色是：爲獲得功率譜估值，先取信號序列的離散傅里葉變換，而後取其幅頻特性的平方併除以序列長度N

     2.平均週期圖法：即先把信號序列分爲若干段，對每段分別計算其週期圖，而後取各個週期圖的平均做爲功率譜的估值。平均週期圖能夠減少隨機起伏，可是，若是信號序列不           是足夠長，因爲每段序列長度變短，功率譜估值對不一樣頻率成分的分辨能力也隨之降低。

     3.P.D.韋爾奇提出一種把加窗處理與平均處理結合起來的方法。先把分段的數據乘以窗函數(進行加窗處理)，分別計算其週期圖，而後進行平均。韋爾奇方法是較經常使用的一種計算方法。爲了獲得較好的功率譜估值，加窗和平均處理均應兼顧減少隨機起伏和保證有足夠的譜分辨率兩個方面。

10.窗函數對比：

       矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；缺點是旁瓣較高，並有負旁瓣，致使變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。

       漢寧窗主瓣加寬並下降，旁瓣則顯著減少。

       海明窗加權的係數能使旁瓣達到更小，可是比漢寧窗衰減速度慢。

       高斯窗譜無負的旁瓣，高斯富譜的主瓣較寬，故而頻率分辨力低

       布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高。    

        三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等於矩形窗的兩倍，但旁瓣小，並且無負旁瓣。

11.傅里葉變換對整個頻帶有相同的分辨率，離散小波變換 低頻時  較高的頻域分辨率， 高頻時  較低的頻域分辨率，適合特定信號。

12.mp3編碼中  有描述  頻譜的平坦度公式，內積與求和的比值。

13.短時語音片斷  

                       fn[m] = x[m]*w[n-m]   x[m]在時刻n的短時段

                        x(n)與窗函數w(n)作卷積，對應累積值

                        

14.自相關與互相關

xcorr(s,s);  默認的MaxLag爲length(s) -1:M-1。輸出序列爲2*M-1

xcorr(s,s,MaxLag);  原序列向左邊偏移-MaxLag，逐步向右偏移MaxLag，互相關的序列爲2*MaxLag-1

xcorr(s,s,MaxLag) 能夠由xcorr(s,s)輸出序列截取得到

  1.xcorr

C=xcorr(A,B),求向量A與B的互相關係數。若是A和B都是長度爲M的向量，則返回2*M-1個胡相關係數C。
若是A和B的長度不同，短的向量補0，而後計算互相關。若是A是行向量，C也是行向量。

xcorr(A),若是A是一個向量，則求自相關序列。若是A是一個M*N的矩陣，則求出的結果爲2M-1行N^2列的自相關序列。延遲爲0
的點位於該序列的中間。


xcorr(A,MaxLag),MaxLag=M-1,M爲向量A的長度。求延遲爲-MaxLag到MaxLag之間的相關函數。


[c,lags]=xcorr(A,MaxLag,ScaleOpt);返回的lags爲延遲下標


ScaleOpt爲歸一化選項：'biased':自相關序列乘以1/M ;‘unbiased’：自相關序列乘以 1/(M-abs(lags))
 'coeff':歸一化序列讓延遲爲0的自相關序列爲1.
‘none’：不歸一化


例子： s=[1  2  3];  
r=xcorr(s);
 r =3.0000    8.0000   14.0000    8.0000    3.0000
上面的矩陣，M=3,最後獲得5個結果，其中第三個是本身和本身相乘，最後相加的結果，值最大1*1+2*2+3*3=14。而第二個和
第四個分別是間隔正負1的結果也就是1*2+2*3=8，2*1+3*2=8。第1個和第五個分別是間隔正負2，也就是1*3=3，3*1=3。

可見：xcorr默認的MaxLag=M-1=2.ScaleOpt默認爲none.
MaxLag=2;
r=xcorr(s,MaxLag,'biased');
r =1.0000    2.6667    4.6667    2.6667    1.0000
至關於乘以1/3


MaxLag=2;
[r,lags]=xcorr(s,MaxLag,'unbiased');
 r=3.0000    4.0000    4.6667    4.0000    3.0000
abs(lags)= 2 1 0 1 2
至關於乘以1/(M-abs(lags))，第一個爲1/(3-2)=1; 1/(3-1); 1/(3-0);1/(3-1);1/(3-2)

MaxLag=2;
[r,lags]=xcorr(s,MaxLag,'coeff'); (注該方法至關於修正的自相關函數)
 r=0.2143    0.5714    1.0000    0.5714    0.2143
至關於r=r./r(M)  即3/14=0.2143    8/14=0.5714,  14/14=1.00;

2.autocorr[acf,lags,bounds] = autocorr(y) [acf,lags,bounds] = autocorr(y,numLags,numMA,numSTD)計算隨機時間變量y的自相關函數，當沒有輸出參數，將畫出在置信區間的自相關函數。 numLags：爲自相關函數的延遲，默認爲min[20,length(y)-1];該函數忽略了延遲小於0的序列。