[COGS 2066]七十與十七

http://218.28.19.228/cogs/problem/problem.php?pid=2066

【題目描述】

七十君最近愛上了排序算法，因而Ta讓十七君給Ta講冒泡排序。

十七君給七十君講完了冒泡排序之後，七十君回家苦思冥想，又創造了一種名

爲七十排序的算法。下面是這個算法排序一個排列的過程：

首先從左到右掃描每一個相鄰數對。若是這兩個數是逆序的，則將第二個數(也

就是小的數)放在整個排列的開頭，其餘數位置不變，並把計數器加一。若是

沒有逆序的相鄰數對了，就說明已經排好序了，算法終止。

七十君認爲計數器的值反映了這個算法的運行時間。但十七君以爲七十君發明

的這個算法會很慢，因此他請你幫忙算算，對於全部長度爲n的排列P，

   

的值，這裏f(P)表示排列P運行算法結束時計數器的值。

【輸入格式】

一行一個整數n。

【輸出格式】

若是E(n)=a/b，求c使得

   bc 三 a  (mod 10^9+7)

並輸出，其中0≤c<10^9+7，若是e不存在輸出-1。

【樣例輸入】

4

【樣例輸出】

250000005

【提示】

對於排列4 1 3 2，算法結束時計數器的值爲5。

4 1 3 2，4和1造成逆序，將1放到排列最前方。

1 4 3 2，4和3造成逆序，將3放到排列最前方。

3 1 4 2，3和1造成逆序，將1放到排列最前方。

1 3 4 2，4和2造成逆序，將2放到排列最前方。

2 1 3 4，2和1造成逆序，將1放到排列最前方。

1 2 3 4，如今排列已經排序完畢。

E(4)=3.25。

 數據範圍與約定

對於20％的數據，n≤8。

對於40％的數據，n≤30。

對於60％的數據，n≤200。

對於1OO％的數據，n≤10^5。

      設$\sum_{P.len = N} f(P) = F(N)$。觀察算法流程能夠發現當掃描到第N個元素時，前N-1個元素必定有序，因此咱們能夠考慮遞推求解F函數。現假設P爲1到N的排列，最後一個元素爲i，而咱們已經事先花費$N * F(N-1) + N!$的時間，讓全部N排列的前N-1個元素有序並將最後一個元素移至開頭。       如今處理一個長度爲N的知足$A_1  = N, A_i = i-1(1 < i \leq N)$的排列A，設將它排序所需時間爲g(N)。考慮這一過程，咱們仍需先將這一排列的前N-1個元素排序，而後將最後一個元素($A_N = N-1$)移至開頭，此時新序列的第N個元素已經就位，而前N-1個元素仍知足」排列A「的性質，再按此過程處理一下就能夠了。從而有$$g(1) = 0, g(N) = g(N-1) + 1 + g(N-1)(N > 1)$$ 解出$g(N) = 2^{N-1} - 1$。       那麼咱們就能夠獲得$$F(N) = N \times (F(N-1) + N!) + (N-1)! \times (\sum_{i = 1}^{N-1} g(i))$$那麼$$E(N) = E(N-1) + \frac{2^{N-1} - 1}{N}$$ 把每輪的1/N改爲N的乘法逆元便可。