簡單易懂的拓撲排序

1.定義

對一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG) G進行拓撲排序，是將G中全部頂點排成一個線性序列，使得圖中任意一對頂點u和v，若邊(u,v)∈E(G)，則u在線性序列中出如今v以前。一般，這樣的線性序列稱爲知足拓撲次序(Topological Order)的序列，簡稱拓撲序列。簡單的說，由某個集合上的一個偏序獲得該集合上的一個全序，這個操做稱之爲拓撲排序。

在AOV網中，若不存在迴路，則全部活動可排列成一個線性序列，使得每一個活動的全部前驅活動都排在該活動的前面，咱們把此序列叫作拓撲序列(Topological order)，由AOV網構造拓撲序列的過程叫作拓撲排序(Topological sort)。AOV網的拓撲序列不是惟一的，知足上述定義的任一線性序列都稱做它的拓撲序列。　

2.拓撲排序的實現步驟

在有向圖中選一個沒有前驅的頂點而且輸出。

從圖中刪除該頂點和全部以它爲尾的弧（白話就是：刪除全部和它有關的邊）。

重複上述兩步，直至全部頂點輸出，或者當前圖中不存在無前驅的頂點爲止，後者表明咱們的有向圖是有環的，所以，也能夠經過拓撲排序來判斷一個圖是否有環。

3.拓撲排序實例手動實現

若是咱們有以下的一個有向無環圖，咱們須要對這個圖的頂點進行拓撲排序，過程以下：

 

首先，咱們發現V6和v1是沒有前驅的，因此咱們就隨機選去一個輸出，咱們先輸出V6，刪除和V6有關的邊，獲得以下圖結果：

 

而後，咱們繼續尋找沒有前驅的頂點，發現V1沒有前驅，因此輸出V1，刪除和V1有關的邊，獲得下圖的結果：

 

而後，咱們又發現V4和V3都是沒有前驅的，那麼咱們就隨機選取一個頂點輸出（具體看你實現的算法和圖存儲結構），咱們輸出V4，獲得以下圖結果：

 

而後，咱們輸出沒有前驅的頂點V3，獲得以下結果：

 

而後，咱們分別輸出V5和V2，最後所有頂點輸出完成，該圖的一個拓撲序列爲：

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

過程簡述：

從 DAG 圖中選擇一個 沒有前驅（即入度爲0）的頂點並輸出。

從圖中刪除該頂點和全部以它爲起點的有向邊。

重複 1 和 2 直到當前的 DAG 圖爲空或當前圖中不存在無前驅的頂點爲止。若當前圖中不存在無前驅的頂點說明有向圖中必存在環。

4.拓撲排序Java實現

（1）   示例

如今你總共有 n 門課須要選，記爲 0 到 n-1。

在選修某些課程以前須要一些先修課程。 例如，想要學習課程 0 ，你須要先完成課程 1 ，咱們用一個匹配來表示他們: [0,1]

給定課程總量以及它們的先決條件，判斷是否可能完成全部課程的學習？

示例 1:

輸入: 2, [[1,0]]

輸出: true

解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 以前，你須要完成課程 0。因此這是可能的。

示例 2:

輸入: 2, [[1,0],[0,1]]

輸出: false

解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 以前，你須要先完成​課程 0；而且學習課程 0 以前，你還應先完成課程 1。這是不可能的。

說明:

輸入的先決條件是由邊緣列表表示的圖形，而不是鄰接矩陣。詳情請參見圖的表示法。

你能夠假定輸入的先決條件中沒有重複的邊。

（2）   截圖步驟：

本題思路：採用拓撲排序+廣度優先搜索的方式進行求解。

步驟一：對全部節點創建一個入度表times，times[i]表示第i個節點有多少個入度，（這裏入度的意思是當實現此節點時，須要多少個前驅節點的支持）。

步驟二：將入度表中入度爲0的節點添加到隊列que中。

步驟三：取出隊列第一個元素temp；並將times中，以該節點做爲前驅節點的入度減一，並判斷入度是否等於0，若是等於0加入到隊列中。

步驟四：重複步驟三，知道隊列爲空，判斷times中是否存在非0的節點，若是存在則說明有環，不存在說明無環。（其中隊列每次輸出的值就是拓排序的輸出值）

（3）   Java代碼：

class Solution { public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) { int []times=new int[numCourses]; for(int i=0;i<prerequisites.length;i++) { int num=prerequisites[i][0]; times[num]=times[num]+1; } Queue<Integer> que=new LinkedList<Integer>(); for(int j=0;j<times.length;j++) { if(times[j]==0) { que.add(j); } } while(!que.isEmpty()) { int temp=que.poll(); for(int m=0;m<prerequisites.length;m++) { if(prerequisites[m][1]==temp) { times[prerequisites[m][0]]--; if(times[prerequisites[m][0]]==0) { que.add(prerequisites[m][0]); } } } } for(int e=0;e<times.length;e++) { if(times[e]!=0) { return false; } } return true; } }