最小生成樹的兩種尋路算法及證實[上]

首先，什麼是平面連通圖?

平面連通圖是一個二維網絡,網絡由節點和邊組成,好比我隨手畫了一個:

也能夠是這樣:

它並非一個空間連通圖由於他能夠拓撲變換成這樣:

但若是這種圖就不行了:

這樣的連通圖只能出如今三維空間中,因此沒法知足歐拉公式.

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其次，歐拉公式是沃特?

歐拉公式也叫歐拉定理,指在簡單多面體上，棱數（邊）、面數和點數具備必定的關係：點+面=邊+2。並且規定,平面網絡屬於特殊的一種多面體,想不到吧（關於歐拉定理的詳解，請轉向個人另外一篇論文《淺談歐拉定理》），這裏要注意一下，數面數的時候要算上整個圖外側的那個無窮大的面，也就是環路的數量加上1。所以平面連通圖恆知足歐拉定理。
   至於我爲何要介紹歐拉公式呢，是爲了作準備，後面的最小生成樹須要用到它！

而後，生成樹有啥特色？

在平面連通圖中，咱們想要用一個如樹枝通常層層分岔但無環的線路通過全部的節點，且這個線路必須被包含於連通圖。換個說法就是，在這個連通圖中，咱們但願刪除掉一些邊，讓剩下全部的邊都沒有造成環，且剩下的邊必須相互連通，不能被隔絕，這就是生成樹（spanning tree）。好比這樣：

能夠看出，不一樣的刪邊方法能夠獲得不一樣的生成樹。
   根據歐拉公式，生成樹中的面數爲1，點數不變仍是n，於是獲得邊數等於n-1，對於連通圖中的全部生成樹都成立。
   仍是根據歐拉公式能夠證實，此時在生成樹中隨便增添一條邊（這條邊固然要屬於原連通圖中），都必然將多出一個環，增長n條邊就產生n個環。
   把這張連通圖當作一張地圖，每一個節點都是一個地點，每條邊都是可走的路徑，這時給每條路徑賦予一個權重值，表明這條路徑的長短，這在TCP/IP協議中叫作度量值或開銷（cost），因此這裏權值越大，路徑開銷反而越大。
   所以，不一樣的生成樹的總開銷未必相同，其中總開銷最小的就成爲了本文探討的最小生成樹。
   還能夠看出，在樹上，任意兩點之間走的路徑是最短距離（放之於原來的連通圖比較來講）的可能性很小。因此最小生成樹不是地圖上尋路的最好方法。

以後，求最小生成樹的兩種重要算法

以上都是最基礎的鋪墊部分，寫教程就這點麻煩，必定要從知識的根源開始講起。那麼廢話再也不多說，直接上算法：kruskal（克魯斯卡爾）算法和prim（普利木）算法。這兩個算法是計算最小生成樹最經常使用的算法沒有之一，由於他們既簡單又完美，何況他們有不少的類似之處。

Kruskal Algorithm

前期準備：