網絡流的最大流入門（從普通算法到dinic優化）

網絡流(network-flows)是一種類比水流的解決問題方法，與線性規劃密切相關。網絡流的理論和應用在不斷髮展。而咱們今天要講的就是網絡流裏的一種常見問題——最大流問題。

最大流問題(maximum flow problem)，一種組合最優化問題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運輸的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的標號算法最先由福特和福克遜與與1956年提出，20世紀50年代福特(Ford)、(Fulkerson)創建的「網絡流理論」，是網絡應用的重要組成成分。

再解決這個問題前，咱們要先弄懂一些定義：

網絡流圖是一張只有一個源點和匯點的有向圖，而最大流就是求源點到匯點間的最大水流量，下圖的問題就是一個最基本，經典的最大流問題

二.流量，容量和可行流

對於弧(u,v)來講，流量就是其上流過的水量(咱們一般用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流過的最大水量(咱們一般用c(u,v)表示)，只要知足f(u,v)<=c(u,v)，咱們就稱流量f(u,v)是可行流(對於最大流問題而言，全部管道上的流量必須都是可行流)。

三.增廣路

若是一條路上的全部邊均知足:

正向邊: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向邊：f(u,v)> 0

假若有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，而且，這條路上的每一段都知足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。那麼，咱們必定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值delta。咱們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，必定能夠保證這個流依然是可行流。這樣咱們就獲得了一個更大的流，他的流量是以前的流量+delta，而這條路就叫作增廣路. From 網絡流(Network Flow)

則咱們稱這條路徑爲一條增廣路徑，簡稱增廣路。

好了，弄懂了一些定義，接下來就能夠介紹著名的Ford-Fulkerson算法了。

如圖所示，若是咱們每次都找出一條增廣路，只要這條增廣路通過匯點，那說明此時水流還能夠增長，增長的量爲d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。

咱們能夠這樣理解：對於每一條正向邊，他能添加的最大水流爲c(u,v)-f(u,v)。而對於反向邊來講，當正向邊上的水流增多時，反向邊自身的反向水流會減小，而其能減小的最多水量爲f(u,v)。因爲要保證添加水流以後，全部的f(u,v)都是可行流，因此咱們取最小值。

增長以後，咱們要更新流量，每條正向邊+d,每條反向邊-d便可。

既然這樣，咱們的思路就是：

1.找出一條增廣路徑 ——2.修改其上點的值——3.繼續重複1，直至找不出增廣路。則此時源點的匯出量即爲所求的最大流。

那麼上代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
#define maxn 1200
#define INF 2e9
using namespace std;
int i,j,k,n,m,h,t,tot,ans,st,en;
struct node{
    int c,f;
}edge[maxn][maxn];
int flag[maxn],pre[maxn],alpha[maxn],q[maxn],v;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}

void bfs(){
    memset(flag,0xff,sizeof(flag));memset(pre,0xff,sizeof(pre));memset(alpha,0xff,sizeof(alpha));
    flag[st]=0;pre[st]=0;alpha[st]=INF;h=0,t=1;q[t]=st;
    while(h<t){
        h++;v=q[h];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(flag[i]==-1){
                if(edge[v][i].c<INF&&edge[v][i].f<edge[v][i].c){
                    flag[i]=0;pre[i]=v;alpha[i]=min(alpha[v],edge[v][i].c-edge[v][i].f);q[++t]=i;
                }
                else if(edge[i][v].c<INF&&edge[i][v].f>0){
                    flag[i]=0;pre[i]=-v;alpha[i]=min(alpha[v],edge[i][v].f);q[++t]=i;
                }
            }
        }
        flag[v]=1;
    }
}

void Ford_Fulkerson(){
    while(1){
        bfs();
        if(alpha[en]==0||flag[en]==-1){
            break;
        }
        int k1=en,k2=abs(pre[k1]);int a=alpha[en];
        while(1){
            if(edge[k2][k1].c<INF) edge[k2][k1].f+=a;
            else if(edge[k1][k2].c<INF) edge[k1][k2].f-=a;
            if(k2==st) break;
            k1=k2;k2=abs(pre[k1]);
        }
        alpha[en]=0;
    }
}

void flow(){
    int maxflow=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++){
        if(i==st&&edge[i][j].f<INF) maxflow+=edge[i][j].f;
      }
    printf("%d",maxflow);
}

int main(){
    int u,v,c,f;
    n=read();m=read();st=read();en=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++) edge[i][j].c=INF,edge[i][j].f=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();c=read();
        edge[u][v].c=c;
    }
    Ford_Fulkerson();
    flow();
    return 0;
}