【數學】漫談函數

前言

我最開接觸函數是在編程語言中，C/C++均有涉及，最開始我覺得這就是函數，直到本蒟蒻在數學中學到了函數（不久前），才發現數學中所言的函數與計算機學函數有很大出入，後來我查了度娘，發現數學函數也分爲兩類，一類是高中/大學階段會學的現代定義函數，另外一類纔是初中階段會學到的古代定義函數，而現代定義函數與計算機函數雖略有不一樣，但整體是類似的，而初中學到的函數其實並不能稱做真正的函數，頂多叫作古代定義函數，是爲之後的真·函數打基礎的。

定義

古代定義：對於在某區間上的每個肯定的x值，y都有一個肯定的值，那麼y叫作x的函數。

現代定義：給定一個數集A，假設其中的元素爲x。現對A中的元素x施加對應法則f，記做f（x），獲得另外一數集B。假設B中的元素爲y。則y與x之間的等量關係能夠用y=f（x）表示。含有三個要素：定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關係的本質特徵。即若對集合A的任意元素x，總有集合B肯定的元素y與之對應，則稱在集合A上定義一個函數，記爲f。元素x稱爲自變量，元素y稱爲因變量」 。

函數的定義一般分爲傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，只是敘述概念的出發點不一樣，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。

計算機學定義：用於完成某些有意義的工做——一般是處理文本，控制輸入或計算數值的過程稱爲函數。經過在程序代碼中引入函數名稱和所需的參數，可在該程序中執行（或稱調用）該函數。

區分

在數學中，函數y=x（古代定義）在現代定義中表示爲：y=f(x)&f()定義：y=x。能夠看出，古代定義實際上是現代定義的一部分，即古代定義的函數在現代定義中被稱爲解析式。

在計算機學中，函數y=x（古代定義）表示爲：Type y f（Type x）{ return x; }。

拓展

圖像的定義（數學）：函數f的圖象是平面上點對 （x，f（x））的集合，其中x取定義域上全部成員的。

計算機學容許多參數函數，即相似：Type y f（Type x1，Type x2 ···）的函數，在計算機學中沒有問題，但數學中是否存在呢？答案是確定的，那麼，在數學中，這樣的函數的圖像該怎麼表示呢？

相似y=f（x1，x2，···，xn）的函數的圖像定義仿照上述定義，即爲：

函數f的圖象是平面上點對 （x1，x2，···，xn，f（x1，x2，···，xn））的集合，其中x取定義域上全部成員的。

因此雙參數函數的圖像是在三維座標系中的二維面，n參數函數的圖像就是在n+1維座標系中的n維「存在」，其實討論這些沒有意義，且不談三維的座標系很難表示，大於三維的座標系更是沒法表示，並且其直觀程度還不如直接使用表達式，因此這只是我本身YY的一個思惟體操。

其實，儘管計算機學的函數調用時也是f（x）的形式，相似於現代定義函數，但實際上並不徹底等同。

好比我能夠編輯三個計算機學函數，使（f1（x）+f2（y））+f3（z）≠f1（x）+（f2（y）+f3（z）），即便之不知足加法交換律，原理很簡單，使用全局變量便可，同理，可使計算機學函數不知足其餘的數學定律，而在數學中，這樣不知足基本數學定律的函數是不可能存在的，實際上，數學函數與只使用局部變量而徹底不使用全局變量的計算機學函數才更爲相像。

後記

此爲一個初二的蒟蒻在學完（其實才剛學）數學的一次函數（古代定義函數）後所作的思考。