[常見作法整合]CSP-S2019 D2T3 樹的重心

CSP-S2019 D2T3 樹的重心(centroid)

本題解是題解欄內一些常見思路的集合。

爲了篇幅緊湊，在一些地方我可能跳過了證實/闡述的不是怎麼詳細，若是但願看到某一個思路的詳細闡述/代碼，能夠點擊相關的超連接。

思路

本題的部分分啓發咱們去找性質：

1. 鏈的部分分啓發咱們去考慮樹鏈剖分。
2. 二叉樹的部分分啓發咱們去考慮以重心爲根的狀況。
3. 因爲要同時考慮子樹與外子樹的狀況，這啓發咱們想到換根法。

性質：

1. 重心\(u\)在根節點所在的重鏈上。
2. 若\(u\in son_{rt}\)，\(v\)爲\(u\)的重心，則\(rt\)的重心爲\(v\)的祖先。
3. 若\(u\)爲重心，只有\(u\)的重兒子（或父親）有多是重心。

計數方法：

1. 對於每個點，咱們計算它做爲重心的次數：這會致使實現偏向數據結構（BIT、可持久化線段樹、樹狀數組等）。
2. 對於每個分割，咱們去找兩課樹的重心：這回致使實現偏向圖論類方法（樹鏈剖分、找重兒子、倍增等）。

方法0：考慮點，只考慮定義

代碼 相似思路的題解

考慮一個點\(u\)，咱們想要知道，它會成爲幾回重心。

將樹在\(u\)處定根，設其最大的子樹大小爲\(S=siz_w\)，則能夠分爲兩種狀況：

1. 刪去的邊不在\(tree_w\)中，\(tree_v\not\subseteq tree_w\)：則\(siz_v\le n-2S\)時，\(u\)成爲重心。
2. 刪去的邊在\(tree_w\)中：設除了\(tree_w\)最大的子樹大小爲\(T\)，則\(2S-n\le siz_v\le n-2T\)時\(u\)成爲重心。

所以，咱們考慮處理出以\(u\)爲根，各個兒子的\(\{siz\}\)的可重集合的狀況，再查詢一段區間內的\(siz\)的個數便可。

維護方法

能夠用可持久化線段樹（可能能夠線段樹合併/將全部查詢離線化）維護。

特別地，\(fa_u\)的狀況，至關於\(tree-anc_u-tree_u\)與\(\{u\}+anc_u-\{rt\}\)取反。（其中，\(anc_u\)表示\(u\)的全部祖先節點）

方法1：考慮點，以重心爲根

咱們先找到重心\(rt\)，並以它做爲根。這樣和隨意選根有什麼區別呢？

性質：若\(x\ne rt\)爲重心，則刪去的邊\((u,v)\)必定不在\(tree_x\)內。

所以，對一個點\(u\ne rt\)，他做爲重心僅當刪去了一條邊\((x,y)\)，且：\((x,y)\)不在\(tree_u\)內，\(n-2s_x\le S\le n-2g_x\)。（設樹減小的大小爲\(S\)）

對於根的狀況，能夠另外（分紅割去的邊在重兒子子樹內與不在重兒子子樹內）判斷。

能夠用樹狀數組維護，具體見這篇題解。

方法2：考慮邊

考慮一種刪邊狀況，咱們須要快速求出，劃分後的全部重心。

考慮如何求一棵樹的重心：由於重心必定在根節點所在重鏈上，從根一直跳重兒子，直到找到最深的\(v\)使得，\(2s_v > s_u\)，則\(v\)（可能還有它的重兒子）爲重心。此過程能夠用倍增長速。

由這種作法，咱們能夠在樹鏈剖分，並預處理倍增數組以後\(O(\log n)\)地求出任何子樹的重心。

某高贊題解的變體

咱們考慮一個劃分\((u,v)\)，不妨設\(dep_u>dep_v\)：

考慮如何求\(tree_u\)的重心：咱們從\(u\)出發，一直向重兒子跳，跳到找到重心（即，重兒子的子樹大小不超過原樹的一半）爲止。

考慮如何求出\(tree-tree_u\)的重心：咱們先將根換到\(v\)處（此時只改變了兩個節點的關係），這樣實際上就至關於求\(tree_u\)的重心！

具體實如今此。

方法3：考慮邊，某神奇的\(O(n)\)作法

就如以前所說的，能夠在\(O(n)\)計算出全部子樹的重心，可是很難對去掉子樹的部分找到一個重心單調移動的計算序列……

以重心爲根，考慮刪去的邊在哪棵子樹內：

1. 不在重兒子的子樹內：則枚舉全部可能的子樹大小，在根所在的重鏈上面走就行了。
2. 在重兒子的子樹內：
   1. 重兒子仍然爲重兒子：此時，根仍然爲重心。
   2. 次重兒子變爲了重兒子：在次重兒子的重鏈上走便可。

這樣就用純圖論方法完成了這題。

參考資料

• https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P5666
• https://dra.blog.luogu.org/solution-p5666
• https://www.luogu.com.cn/blog/xht37/solution-p5666
• https://www.luogu.com.cn/blog/soaring/solution-p5666
• https://loj.ac/submission/717065
• https://www.luogu.com.cn/blog/qzh/p5666-shu-di-zhong-xin