卡特蘭數編程
大神解釋：https://blog.csdn.net/akenseren/article/details/82149145 權侵刪數組
原題
有一個容量足夠大的棧，n個元素以必定的順序入棧，出棧順序有多少種？spa
好比，AB兩個元素，入棧順序爲AB，出棧狀況有兩種：.net
（1）入A，出A，入B，出B，出棧順序爲AB；blog
（2）入A，入B，出B，出A，出棧順序爲BA。遞歸
所以，2個元素時，結果爲2。class
分析：設f(n)爲「n個元素以必定的順序入棧，出棧順序的種類數」。顯然f(1)=1,f(2)=2。咱們如今來分析通常狀況。通常狀況下，咱們能夠按照「第一個入棧的元素，在出棧序列中的位置」做爲分類手段。原理
舉個例子，咱們假設入棧元素爲A，B，C，D。咱們按照「A在出棧序列中的位置」分類討論：hack
（1）當A第一個出棧時，A先進，而後立刻出棧。這種狀況下，共有「BCD出棧順序的種類數」種方案。也就是f(n-1)。方法
（2）當A第二個出棧時，A先進，B再進，以後B須要立刻出來（這樣才能確保A排第二）。此時共有f(n-2)種方案。
（3）當A第三個出棧時，A先進，以後只要確保排在A後面兩個的元素比A先出便可。此時共有f(2)*f(n-3)種方案。f(2)是指「BC入棧出棧順序的種類數」，f(n-3)是指」D入棧出棧的種類數」。
……
分析到這裏，規律就很顯然了。
從第一項開始，分別是第一個入棧元素在第i+1個出棧的狀況數。
上式中，令f(0)=1 。
這個其實是卡特蘭數（Catalan number，又稱卡塔蘭數）。
若編程實現，須要維護一個一維數組，時間複雜度爲O(n^2)。（遞歸實現的時間複雜度過高）。
卡塔蘭數的通項公式爲h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。
元素A、B、C、D依次進棧,寫出全部可能的出棧序列
應該有14種狀況
A第一個出棧：ABCD;ACBD;ACDB;ABDC;ADCB;
A第二個出棧：BACD;BADC;
A第三個出棧：CBAD;BCAD;
A第四個出棧：BCDA;CBDA;CDBA;BDCA;DCBA.
卡特蘭數
卡特蘭數前幾項爲 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數知足遞推式： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式： h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解爲： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
遞推關係的另類解爲： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=1,2,3,...)
本題目的常規分析
首先，咱們設f（n）=序列個數爲n的出棧序列種數。同時，咱們假定第一個出棧的序數是k。
第一個出棧的序數k將1~n的序列分紅兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數爲k-1，另一個是k+1~n，序列個數是n-k。
此時，咱們若把k視爲肯定一個序數，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數爲k-1的出棧序列種數乘以序列個數爲n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k能夠選1到n，因此再根據加法原理，將k取不一樣值的序列種數相加，獲得的總序列種數爲：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即爲f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。
最後，令f（0）=1，f（1）=1。
很是規分析
問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2進制數，要求從左到右掃描，1的累計數不小於0的累計數，試求知足這條件的數有多少？【對於每個數來講，必須進棧一次、出棧一次。咱們把進棧設爲狀態‘1’，出棧設爲狀態‘0’】
解答： 設P2n爲這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數爲 C（n 2n）
不填1的其他n位自動填以數0。從C（n 2n）中減去不符合要求的方案數即爲所求。
不合要求的數指的是從左而右掃描，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃描時，必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個的累計數，和m個1的累計數。
此後的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把後面這部分2（n－m）－1位，0與1交換【就是0換成1 1換成0 不是順序的調換 是數值換】，使之成爲n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n＋1個0和n－1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n－1個0和n＋1個1組成的一個排列。
咱們把進棧設爲狀態‘1’，出棧設爲狀態‘0’。【對於每個數來講，必須進棧一次、出棧一次】
因爲任意時刻，出棧的操做數必定不超過入棧的操做數
不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，
【出棧數已經大於入棧數了】【由於合法的排列 不管在哪一個位置 1都是>=0的】【前面m個位置0、1排列無論怎麼排列都已經不合法）】
此後的2(n-m)-1位上有n-m個1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成爲n-m個0和n-m-1個1，
結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
卡特蘭數 爲何要0 1 互換？【互換後的排列中0比1多1個，那麼無論怎麼排列，也都不合法】
相似問題 買票找零
1.有2n我的排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n我的有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視做將5元入棧，持10元者到達視做使棧中某5元出棧)
最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)
2.