python實現GA求二元函數最大值(來自知乎)

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下面講述如何利用遺傳算法解決一個二元函數的最大值求解問題。

問題

二元函數以下： 

# 畫出圖像以下
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt fig = plt.figure(figsize=(10,6)) ax = Axes3D(fig) x = np.arange(-10, 10, 0.1) y = np.arange(-10, 10, 0.1) X, Y = np.meshgrid(x, y) Z = 0.5 - (np.sin(np.sqrt(X**2+Y**2))**2 - 0.5)/(1 + 0.001*(x**2 + y**2)**2) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') ax.set_zlim([-1,5]) ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow') plt.show()

 

 

咱們任務是找到  範圍以內的最大值。

 

創造染色體（編碼）

咱們嘗試爲上文所述的函數  的最大值所對應的  和  的值構造染色體。也就是說，要在一組二進制位中存儲函數  的定義域中的數值信息。

假如設定求解的精度爲小數點後6位，能夠將區間[-10,10]劃分爲  個子區間。若用一組二進制位形式的染色體來表示這個數值集合，  ，須要25位二進制數來表示這些解。換句話說，一個解的編碼就是一個25位的二進制串。

如今，咱們已經建立了一種 25 位長度的二進制位類型的染色體，那麼對於任意一個這樣的染色體，咱們如何將其復原爲[-10, 10]這個區間中的數值呢？這個很簡單，只須要使用下面的公式便可：

例如 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 和 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1 這兩個二進制數，將其化爲 10 進制數，代入上式，可得 -10.0 和 10.0。這意味着長度爲 25 位的二進制數老是能夠經過上式轉化爲[-10, 10]區間中的數。

 

個體、種羣與進化

染色體表達了某種特徵，這種特徵的載體，能夠稱爲「個體」。例如，我本人就是一個「個體」，我身上載有 23 對染色體，也許個人相貌、性別、性格等因素主要取決於它們。衆多個體便構成「種羣」。

對於所要解決的二元函數最大值求解問題，個體可採用上一節所構造的染色體表示，而且數量爲2個，其含義可理解爲函數f(x, y)定義域內的一個點的座標。許多這樣的個體便構成了一個種羣，其含義爲一個二維點集，包含於對角定點爲(-10.0, -10.0)和(10.0, 10.0)的正方形區域。

也許有這樣一個種羣，它所包含的個體對應的函數值會比其餘個體更接近於函數f(x, y)的理論最大值，可是它一開始的時候可能並不比其餘個體優秀，它之因此優秀是由於它選擇了不斷的進化，每一次的進化都要儘可能保留種羣中的優秀個體，淘汰掉不理想的個體，而且在優秀個體之間進行染色體交叉，有些個體還可能出現變異。種羣的每一次進化後，一定會產生一個最優秀的個體。種羣全部世代中的那個最優個體也許就是函數f(x, y)的最大值對應的定義域中的點。若是種羣不休止的進化，它老是可以找到最好的解。可是，因爲咱們的時間是有限的，有可能等不及種羣的最優進化結果，一般是在獲得了一個看上去還不錯的解時，便終止了種羣的進化。

那麼，對於一個給定的種羣，一般上述講過的選擇、交叉、變異來進行進化。

 

python實現

 

import math, random class Population: # 種羣的設計
    def __init__(self, size, chrom_size, cp, mp, gen_max): # 種羣信息合
        self.individuals = []          # 個體集合
        self.fitness = []              # 個體適應度集
        self.selector_probability = [] # 個體選擇機率集合
        self.new_individuals = []      # 新一代個體集合
 self.elitist = {'chromosome':[0, 0], 'fitness':0, 'age':0} # 最佳個體的信息
 self.size = size # 種羣所包含的個體數
        self.chromosome_size = chrom_size # 個體的染色體長度
        self.crossover_probability = cp   # 個體之間的交叉機率
        self.mutation_probability = mp    # 個體之間的變異機率
 self.generation_max = gen_max # 種羣進化的最大世代數
        self.age = 0                  # 種羣當前所處世代
          
        # 隨機產生初始個體集，並將新一代個體、適應度、選擇機率等集合以 0 值進行初始化
        v = 2 ** self.chromosome_size - 1
        for i in range(self.size): self.individuals.append([random.randint(0, v), random.randint(0, v)]) self.new_individuals.append([0, 0]) self.fitness.append(0) self.selector_probability.append(0) # 基於輪盤賭博機的選擇
    def decode(self, interval, chromosome): '''將一個染色體 chromosome 映射爲區間 interval 以內的數值''' d = interval[1] - interval[0] n = float (2 ** self.chromosome_size -1) return (interval[0] + chromosome * d / n) def fitness_func(self, chrom1, chrom2): '''適應度函數，能夠根據個體的兩個染色體計算出該個體的適應度''' interval = [-10.0, 10.0] (x, y) = (self.decode(interval, chrom1), self.decode(interval, chrom2)) n = lambda x, y: math.sin(math.sqrt(x*x + y*y)) ** 2 - 0.5 d = lambda x, y: (1 + 0.001 * (x*x + y*y)) ** 2 func = lambda x, y: 0.5 - n(x, y)/d(x, y) return func(x, y) def evaluate(self): '''用於評估種羣中的個體集合 self.individuals 中各個個體的適應度''' sp = self.selector_probability for i in range (self.size): self.fitness[i] = self.fitness_func (self.individuals[i][0],   # 將計算結果保存在 self.fitness 列表中
                                                 self.individuals[i][1]) ft_sum = sum (self.fitness) for i in range (self.size): sp[i] = self.fitness[i] / float (ft_sum)   # 獲得各個個體的生存機率
        for i in range (1, self.size): sp[i] = sp[i] + sp[i-1]   # 須要將個體的生存機率進行疊加，從而計算出各個個體的選擇機率

    # 輪盤賭博機（選擇）
    def select(self): (t, i) = (random.random(), 0) for p in self.selector_probability: if p > t: break i = i + 1
        return i # 交叉
    def cross(self, chrom1, chrom2): p = random.random()    # 隨機機率
        n = 2 ** self.chromosome_size -1
        if chrom1 != chrom2 and p < self.crossover_probability: t = random.randint(1, self.chromosome_size - 1)   # 隨機選擇一點（單點交叉）
            mask = n << t    # << 左移運算符
            (r1, r2) = (chrom1 & mask, chrom2 & mask)   # & 按位與運算符：參與運算的兩個值,若是兩個相應位都爲1,則該位的結果爲1,不然爲0
            mask = n >> (self.chromosome_size - t) (l1, l2) = (chrom1 & mask, chrom2 & mask) (chrom1, chrom2) = (r1 + l2, r2 + l1) return (chrom1, chrom2) # 變異
    def mutate(self, chrom): p = random.random () if p < self.mutation_probability: t = random.randint (1, self.chromosome_size) mask1 = 1 << (t - 1) mask2 = chrom & mask1 if mask2 > 0: chrom = chrom & (~mask2)  # ~ 按位取反運算符：對數據的每一個二進制位取反,即把1變爲0,把0變爲1 
            else: chrom = chrom ^ mask1   # ^ 按位異或運算符：當兩對應的二進位相異時，結果爲1 
        return chrom # 保留最佳個體
    def reproduct_elitist (self): # 與當前種羣進行適應度比較，更新最佳個體
        j = -1
        for i in range (self.size): if self.elitist['fitness'] < self.fitness[i]: j = i self.elitist['fitness'] = self.fitness[i] if (j >= 0): self.elitist['chromosome'][0] = self.individuals[j][0] self.elitist['chromosome'][1] = self.individuals[j][1] self.elitist['age'] = self.age # 進化過程
    def evolve(self): indvs = self.individuals new_indvs = self.new_individuals # 計算適應度及選擇機率
 self.evaluate() # 進化操做
        i = 0 while True: # 選擇兩個個體，進行交叉與變異，產生新的種羣
            idv1 = self.select() idv2 = self.select() # 交叉
            (idv1_x, idv1_y) = (indvs[idv1][0], indvs[idv1][1]) (idv2_x, idv2_y) = (indvs[idv2][0], indvs[idv2][1]) (idv1_x, idv2_x) = self.cross(idv1_x, idv2_x) (idv1_y, idv2_y) = self.cross(idv1_y, idv2_y) # 變異
            (idv1_x, idv1_y) = (self.mutate(idv1_x), self.mutate(idv1_y)) (idv2_x, idv2_y) = (self.mutate(idv2_x), self.mutate(idv2_y)) (new_indvs[i][0], new_indvs[i][1]) = (idv1_x, idv1_y)  # 將計算結果保存於新的個體集合self.new_individuals中
            (new_indvs[i+1][0], new_indvs[i+1][1]) = (idv2_x, idv2_y) # 判斷進化過程是否結束
            i = i + 2         # 循環self.size/2次，每次從self.individuals 中選出2個
            if i >= self.size: break
        
        # 最佳個體保留
        # 若是在選擇以前保留當前最佳個體，最終能收斂到全局最優解。
 self.reproduct_elitist() # 更新換代：用種羣進化生成的新個體集合 self.new_individuals 替換當前個體集合
        for i in range (self.size): self.individuals[i][0] = self.new_individuals[i][0] self.individuals[i][1] = self.new_individuals[i][1] def run(self): '''根據種羣最大進化世代數設定了一個循環。 在循環過程當中，調用 evolve 函數進行種羣進化計算，並輸出種羣的每一代的個體適應度最大值、平均值和最小值。'''
        for i in range (self.generation_max): self.evolve () print (i, max (self.fitness), sum (self.fitness)/self.size, min (self.fitness)) if __name__ == '__main__': # 種羣的個體數量爲 50，染色體長度爲 25，交叉機率爲 0.8，變異機率爲 0.1,進化最大世代數爲 150
    pop = Population (50, 24, 0.8, 0.1, 150) pop.run()