線性方程組（三）- 向量方程

小結

1. 向量的定義
2. 向量方程的定義和求解
3. $\boldsymbol{Span\{v\}}$Span{v}與 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$Span{u,v}的幾何解釋

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$\mathbb{R}^{2}$R2中的向量

僅含一列的矩陣稱爲&列向量，或簡稱向量。向量表示一組有序數。
包含兩個元素的向量表示爲： $\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}$w=[w1​w2​​]，其中 $w_1$w1​和 $w_2$w2​是任意實數。
所有兩個元素的向量的集記爲 $\mathbb{R}^{2}$R2， $\mathbb{R}$R表示向量中的元素是實數，而指數2表示每個向量包含兩個元素。
$\mathbb{R}^{2}$R2中兩個向量相等當且僅當其對應元素相等。即 $\mathbb{R}^{2}$R2中的向量是實數的有序對。
給定實數 $c$c和 $\mathbb{R}^{2}$R2中兩個向量 $\boldsymbol{u}$u和 $\boldsymbol{v}$v，它們的和 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$u+v是把 $\boldsymbol{u}$u和 $\boldsymbol{v}$v對應元素相加所得的向量。 $\boldsymbol{u}$u和 $c$c的標量乘法（或數乘）是把 $\boldsymbol{u}$u的每個元素乘以 $c$c，所得向量記爲 $c\boldsymbol{u}$cu。 $c\boldsymbol{u}$cu中的數 $c$c稱爲標量（或數）。

給定 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$u=[1−2​]和 $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$u=[2−5​]，求 $4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}$4u−3v
解： $\quad4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}$4u−3v
$\qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$=4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)​]+[−3∗2−3∗(−5)​]=[4−8​]+[−615​]=[4+(−6)−8+15​]=[−27​]

$\mathbb{R}^{2}$R2的幾何表示

考慮平面上的直角座標系。因爲平面上每個點由實數的有序對確定，所以可把幾何點 $(a, b)$(a,b)與列向量 $\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right]$[ab​]等同。因此我們可把 $\mathbb{R}^{2}$R2看作平面上所有點的集合。
向量 $\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]$[3−1​]的幾何表示是一條由原點 $(0, 0)$(0,0)指向點 $(3, -1)$(3,−1)的有向線段。

向量加法的平行四邊形法則
若 $\mathbb{R}^{2}$R2中向量 $\boldsymbol{u}$u和向量 $\boldsymbol{v}$v用平面上的點表示，則 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$u+v對應於以 $\boldsymbol{u}$u， $\boldsymbol{0}$0和 $\boldsymbol{v}$v爲頂點的平行四邊形的第4個頂點。

$\mathbb{R}^{n}$Rn中的向量

$\mathbb{R}^{3}$R3中向量是 $3 \times 1$3×1列矩陣，有3個元素。它們表示三維空間中的點，或起點爲原點的箭頭。

若 $n$n是正整數，則 $\mathbb{R}^{n}$Rn表示所有 $n$n個實數數列（或有序 $n$n元組）的集合，通常寫成 $n \times 1$n×1列矩陣的形式， $\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$u=⎣⎢⎢⎢⎡​u1​u2​⋮un​​⎦⎥⎥⎥⎤​。
所有元素都是零的向量稱爲零向量，用 $\boldsymbol{0}$0表示。

$\mathbb{R}^{n}$Rn中向量相等以及向量加法與標量乘法類似於 $\mathbb{R}^{2}$R2中的定義。
$\mathbb{R}^{n}$Rn中向量的代數性質
對 $\mathbb{R}^{n}$Rn中一切向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$u,v,w以及標量 $c$c和 $d$d:
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} +\boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad\qquad c(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = c\boldsymbol{u} + c\boldsymbol{v} \\ (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \qquad\ (c+d)\boldsymbol{u} = c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} \qquad\qquad\qquad c(d\boldsymbol{u}) = cd\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{-u}) = \boldsymbol{-u} + \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \qquad\quad\ 1\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}$u+v=v+uc(u+v)=cu+cv(u+v)+w=u+(v+w) (c+d)u=cu+duu+0=0+u=uc(du)=cduu+(−u)=−u+u=0 1u=u

線性組合

給定 $\mathbb{R}^{n}$Rn中向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​和標量 $c_1, c_2,\cdots,v_p$c1​,c2​,⋯,vp​，向量 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$y=c1​v1​+⋯+cp​vp​稱爲向量 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​以 $c_1, c_2,\cdots,v_p$c1​,c2​,⋯,vp​爲權的線性組合。形如 $\boldsymbol{y}= c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$y=c1​v1​+⋯+cp​vp​的方程稱爲向量方程。

設 $\boldsymbol{a_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$a1​=⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​， $\boldsymbol{a_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$a2​=⎣⎡​256​⎦⎤​， $\boldsymbol{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$b=⎣⎡​74−3​⎦⎤​，確定 $\boldsymbol{b}$b能否寫成 $\boldsymbol{a_1}$a1​和 $\boldsymbol{a_2}$a2​的線性組合，也就是說，確定是否存在權 $x_1$x1​和 $x_2$x2​使 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​=b。
解： $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2}= x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -2x_1 + 5x_2 \\ -5x_1 + 6x_2 \\ \end{bmatrix}$x1​a1​+x2​a2​=x1​⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​+x2​⎣⎡​256​⎦⎤​=⎣⎡​x1​+2x2​−2x1​+5x2​−5x1​+6x2​​⎦⎤​
向量相等當且僅當它們的對應元素相等。即 $x_1$x1​和 $x_2$x2​滿足 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​=b當且僅當 $x_1$x1​和 $x_2$x2​滿足方程組 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 7 \\ -2x_1 + 5x_2 = 4 \\ -5x_1 + 6x_2 = -3 \\ \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+2x2​=7−2x1​+5x2​=4−5x1​+6x2​=−3​。
用行化簡算法將方程組的增廣矩陣化簡，以此解方程組：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 9 & 18 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​2916​71832​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 32 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​2116​7232​⎦⎤​
～ $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​210​720​⎦⎤​～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​320​⎦⎤​
由階梯形矩陣最右列不是主元列，可知其有解。解爲 $x_1=3,x_2=2$x1​=3,x2​=2。
因此 $\boldsymbol{b}$b是 $\boldsymbol{a_1}$a1​與 $\boldsymbol{a_2}$a2​的線性組合，權爲 $x_1=3,x_2=2$x1​=3,x2​=2。

若 $\boldsymbol{A}$A是 $m \times n$m×n矩陣。 $\boldsymbol{A}$A的各列是 $\mathbb{R}^{m}$Rm中的向量，用 $\boldsymbol{a_1}, \cdots,\boldsymbol{a_n}$a1​,⋯,an​表示，則A= $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n} \end{bmatrix}$[a1​,⋯,an​​]。

注意：求解過程中，增廣矩陣 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \\ \end{bmatrix}$⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​的3列分別對應於 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b}$a1​,a2​,b。即增廣矩陣可直接寫爲: $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b} \end{bmatrix}$[a1​,a2​,b​]。

向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}$x1​a1​+x2​a2​+⋯+xn​an​=b和增廣矩陣爲 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[a1​​a2​​⋯​an​​b​]的線性方程組有相同的解。特別地， $\boldsymbol{b}$b可表示爲 $\boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_n}$a1​,a2​,⋯,an​的線性組合當且僅當線性方程組有解。

$\boldsymbol{Span\{v\}}$Span{v}與 $\boldsymbol{Span\{u,v\}}$Span{u,v}的幾何解釋

若 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​是 $\mathbb{R}^{n}$Rn中的向量，則 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​的所有線性組合所成的集合用記號 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}表示，稱爲由 $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​所生成（或張成）的 $\mathbb{R}^{n}$Rn的子集。也就是說， $\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_p}$v1​,v2​,⋯,vp​是所有形如 $c_1\boldsymbol{v_1} + c_2\boldsymbol{v_2} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p}$c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vp​的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\cdots,c_p$c1​,c2​,⋯,cp​爲標量。

要判斷向量 $\boldsymbol{b}$b是否屬於 $\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判斷向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b是否有解，或等價地，判斷增廣矩陣爲 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[v1​​v2​​ p } \boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}} Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判斷向量方程 $x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{b}$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b是否有解，或等價地，判斷增廣矩陣爲 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \cdots & \boldsymbol{v_p} & \boldsymbol{b} \\ \end{bmatrix}$[v1​​v2​​⋯​vp​