如何找N個數中第i小的數

　　聽說這是面試算法崗位中最常問的問題，各個面經裏面出現這個問題的比率很高，今天的算法課講了《算法導論》的第九章「中位數和順序統計量」，9.2和9.3偏偏介紹的就是這個問題，這裏作一下總結，說一下本身的理解。

　　首先，接手這個問題最直接的想法莫過於排序了，經常使用的排序算法裏面有冒泡排序、選擇排序、插入排序、歸併排序、堆排序、快速排序、計數排序、基數排序、桶排序等，雖說快排的平均時間複雜度達到了O(nlgn),桶排序的平均時間複雜度達到了O(n)可是基於排序的方法對於這個問題並非一個好的解決方法。O(nlgn)的排序就不說了，O(n)的排序前面隱含的常數因子也會被下面介紹的算法所戰勝。

　　接下來會想到的方法，多是對整個數組過i遍，每次都選擇最小的，這樣第i次就選到了第i小的，這樣的話時間複雜度就成了O(in)，當i比較大時，仍然是不可接受的，萬一i接近n/2呢，豈不是都O(n²)了。

　　指望線性時間複雜度算法

　　思考一下快排的PARTITION過程，通過屢次左右互換，實現了針對於選定靶點A[q]，左側的元素都小於A[q]，右側的元素都大於A[q]。這個過程豈不是能用來幫助選點。

                                             　　

 1 RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i)
 2     if p==r
 3         return A[p]
 4     q = RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)    //劃分位置
 5     k = q-p+1
 6     if i==k           //the pivot value is the answer
 7         return A[q]
 8     else if i<k
 9         return RANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,i)
10     else return RANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,i-k)

第4行的劃分位置是隨機取到的，這樣就爲下面分析其指望時間複雜度埋下伏筆。k是left部分的長度。當i=k時，六、7行是k恰好知足長度要求，程序結束。第9行，意思是i<k時，程序進入left部分（注意遞歸處理的數組的範圍的變化爲A[p]~A[q-1]）；當i>k時，進入right部分（注意遞歸處理的數組的範圍的變化爲A[q+1]~A[r]，尋找的數的「位置」也要減去left部分的長度）。如此遞歸下去，則總會退出，即找到對應的第i小的數。

　　下面分析其時間複雜度。

　　最壞狀況：假如第4行的RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r) 每次劃分的比例都是0:n-1(即最差狀況)，這樣的話時間複雜度就是O(n²)。

　　平均狀況：T(n)≤Σ_k=1ⁿX_k•(T(max(k-1,n-k))+O(n) ) = Σ_k=1ⁿX_k•T(max(k-1,n-k)) + O(n) 

　　　　通過替換推導 E(T(n)) ≤ cn。即指望時間複雜度爲線性時間複雜度。

 

 

　　最壞狀況爲線性時間點的選擇算法

　　該算法比「指望線性時間複雜度算法」的主要改進是經過尋找中位數來獲得一個更好的劃分（上面的是隨機取的劃分位置）。SELECT算法使用的也是快速排序的肯定性劃分算法PARTITION，但作了修改，把劃分的主元也做爲輸入參數。

經過執行下列步驟，算法SELECT能夠肯定一個有n>1個不一樣的元素的輸入數組中第i小的元素。（若是n=1，則SEKECT只返回它的惟一輸入數值做爲第i小的元素 ）
（1）將輸入數組的n個元素劃分爲(n/5)組，每組5個元素，且至多隻有一組由剩下的n mod 5個元素組成。
（2）尋找這(n/5)組中每一組中位數：首先對每組元素進行插入排序，而後肯定每組有序元素的中位數。
（3）對第2步中找出的(n/5)箇中位數，遞歸調用SELECT以找出其中位數x（若是有偶數箇中位數，爲了方便，約定x是較小的中位數）
（4）利用修改過的PARTITION版本，按中位數的中位數x對輸入數組進行劃分。令k=劃分的低區中的元素個數+1，所以x是第k小的元素，而且有n-k個元素在劃分的高區。
（5）若是i=k，則返回x。若是i<k，則在低區遞歸調用SELECT來找出第i小的元素。若是i>k，則高區遞歸查找第i-k小的元素。

步驟一、2和4須要O(n)的時間。（步驟2是對大小爲O(1)的集合調用O(n)次插入排序） 步驟3所需時間爲T(n/5)，步驟5所需時間至多爲T(7n/10+6)（具體推導請參考算導9.3）。這樣根據主方法就很容易推導出時間複雜度爲線性。（T(n)≤cn）