BZOJ3529: [Sdoi2014]數表

# BZOJ3529: [Sdoi2014]數表

題目描述

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題目分析

\(a\)什麼的先無論。

設\(f(n)\)表示\(n\)的約數和，則這個題就是在求：

\[ Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j)) \]

根據慣例咱們枚舉\(gcd\)

\[ Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]f(d) \]

能夠先把\(f(d)\)拿出去
\[ Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}f(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d] \]
裏面那個東西明顯是一個老套的反演。
\[ Ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)}f(i)\sum_{i\mid d}\mu(\frac{d}{i})\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \]
換成枚舉\(d\)，容易知道不會對答案形成影響。
\[ Ans=\sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\sum_{i\mid d}f(i)\mu(\frac{d}{i}) \]
而後這個式子的後半部分明顯是個定值能夠預處理，前面部分整數分塊就能夠解。

而後須要考慮\(a\)的限制。

能夠發現的是，對於\(a\),可以爲其提供貢獻的\(f\)是單調的。也就是能夠先將全部的詢問按\(a\)排序，而後一個一個的將\(f\)加入就能夠了。能夠使用樹狀數組。
取模能夠直接將最後答案與\(2^31-1\)取並。

是代碼呢

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+7;
const int mo=1<<31;
#define ll long long
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define fi first
#define se second
pair<int,int> f[MAXN];
struct qu{
    int n,m,a,id;
    inline bool operator <(const qu &rhs)const{
        return a<rhs.a;
    }
}q[MAXN];
int ans[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],c[MAXN],mx,Q;
bool vis[MAXN];
inline void add(int x,int k) {for(int i=x;i<=mx;i+=(i&(-i))) c[i]+=k;}
inline int query(int x){int cnt=0;for(int i=x;i;i-=(i&(-i))) cnt+=c[i];return cnt;}
inline void get_mu(int N)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0];j++){
            if(i*prime[j]>N) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=i;j<=N;j+=i)
            f[j].fi+=i;
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i].se=i;
}
inline void solve(int x)
{
    int n=q[x].n,m=q[x].m;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans[q[x].id]+=(n/l)*(m/l)*(query(r)-query(l-1));
    }
}
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
int main()
{
    get_mu(100000);
    Q=read();
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        q[i].n=read();q[i].m=read();q[i].a=read();q[i].id=i;
        if(q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);
        mx=max(q[i].n,mx);
    }
    
    sort(q+1,q+Q+1);
    sort(f+1,f+mx+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        while(now+1<=mx&&f[now+1].fi<=q[i].a){
            now++;
            for(int j=f[now].se;j<=mx;j+=f[now].se)
                add(j,f[now].fi*mu[j/f[now].se]);
        }
        solve(i);
    }
    for(int i=1;i<=Q;i++) printf("%d\n", ans[i]&0x7fffffff);
}