哈密爾頓迴路總結

時間  2019-12-11
標籤 哈密 迴路 總結 简体版
原文   原文鏈接

 

1、引子

 

1959 年 William Rowan Hamilton 發明了一個小玩具，這個玩具是一個木刻的正十二面體，每面系正五角形，三面交於一角，共 20 個角，沒每一個角上標有世界上一個重要城市。他提出一個問題：要求沿着正十二面體的邊尋找一條路，經過 20 個城市，而每一個城市只經過一次，最後返回原地。Hamilton 將此問題稱爲周遊世界問題，而且坐了確定的回答。php

上面提到的問題就是經典的 Hamilton 迴路問題。ios

固然，還有另外一個著名的迴路問題——歐拉回路問題，不一樣於 Hamilton 迴路問題，歐拉問題已經獲得了圓滿解決ide

 

2、一些定義

 

設無向圖 G=(V, E)，其中 V 是點集，E 是邊集， n=|V| 表示圖中點的數量，m=|E| 表示圖中邊的數量ui

 

Hamilton 通路：通過圖 G 中每一個節點一次且僅一次的通路稱爲 Hamilton 通路spa

　　特色：包含圖 G 中全部頂點，通路上各頂點不重複3d

Hamilton 迴路：通過圖 G 中每一個節點一次且僅一次的迴路稱爲 Hamilton 迴路code

　　特色：包含圖 G 中全部頂點，迴路中，除了起點和終點相同以外，迴路上各點不重複blog

Hamilton 圖：存在 Hamilton 迴路的圖稱爲 Hamilton 圖get

Hamilton 通路問題轉化爲 Hamilton 迴路問題：string

　　一個可行的作法是枚舉通路的起點和終點，添加一條邊，轉化爲對應 Hamilton 迴路問題

 

3、Hamilton 圖的斷定

 

衆所周知，如今沒有判斷圖中是否存在 Hamilton 通路、Hamilton 迴路的簡單斷定定理，咱們只能對節點較少的圖憑經驗去斷定，下面給出的是一些必要條件和充分條件以及相應的簡單證實

 

PS：這些證實固然不是我寫的啦，都是抄的書上的，不過我都理解了

 

一、必要條件：

定理1：設無向圖 G=(V, E) 是 Hamilton 圖，V1 是 V 的任意非空子集，則：p(G-V1)≤|V1|（其中：p(G-V1) 表示從 G 中刪除 V1 後獲得的圖的聯通分支的數量）

證實：

考慮 G 的一條 Hamilton 迴路 C，顯然 C 是 G 的生成子圖，從而 C-V1 也是 G-V1 的生成子圖，且有 p(G-V1)≤p(C-V1)，所以只須要證實 p(C-V1)≤|V1|便可。

下面分兩種狀況討論：

　　（1）、V1 中節點在 C 中均相鄰，刪除 C 上 V1 中各點及關聯的邊後，C-V1 還是聯通的，但已非迴路，所以 p(C-V1)=1≤|V1|

　　（2）、V1 中節點在 C 中存在 r(2≤r≤|V1|) 個互不相鄰，刪除 C 上 V1 中各點及關聯的邊後，將 C 分爲互不相連的 r 段，即 p(C-V1)=r≤|V1|

通常狀況下，V1 中的點在 C 中既有相鄰的也有不相鄰的，所以總有 p(C-V1)≤|V1|

又由於 C 是 G 的生成子圖，從而 C-V1 也是 G-V1 的生成子圖，故有：p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|

 

推論1.1：設無向圖 G=(V, E) 中存在 Hamilton 通路，則對 V 的任意非空子集 V1，都有 p(G-V1)≤|V1|+1

 

上面的定理和推論在用來判斷一個圖是否存在 Hamilton 迴路（通路）時很是有用

 

二、充分條件：

定理2：設 G=(V, E) 是具備 n 個節點的簡單無向圖（|V|=n），若是對於任意的兩個不相鄰的節點 u, v∈V，均有 deg(u)+deg(v)≥n-1，則 G 中必定存在 Hamilton 通路

證實：

首先證實知足上述條件的圖是一個聯通圖，而後用「延長通路法」找出一條 Hamilton 通路

（1）、反證法證實知足上述條件的圖是一個連通圖：

假設 G 有兩個或者更多聯通分支。設一個聯通分支有 n1 個節點，另外一個聯通分支有 n2 個節點。這兩個聯通分支中分別有節點 v1 和節點 v2。顯然：deg(v1)≤n1-1，deg(v2)≤n2-1。從而：deg(v1)+deg(v2)≤n1+n2-2≤n-2，與已知條件"對於任意的兩個不相鄰的節點 u, v∈V，均有 deg(u)+deg(v)≥n-1"矛盾，故 G 是聯通的

 

（2）、證實 G 中存在 Hamilton 通路

設 p=v1v2...vk 爲 G 中用「延長通路法」獲得的「極大基本通路」，即 p 中的始點 v1 和終點 vk 不與 p 外的節點相鄰，顯然 k≤n

　　（Ⅰ）、若 k=n，則 p 爲 G 中通過全部節點的通路，即爲 Hamilton 通路

　　（Ⅱ）、若 k<n，說明 G 中還存在 p 外的節點，但此時能夠證實存在僅通過 p 上全部節點的基本回路，證實以下：

　　　　（a）、若在 p 上 v1 與 vk 相鄰，則 v1v2...vkv1 爲僅通過 p 上全部節點的基本回路

　　　　（b）、若在 p 上 v1 不與 vk 相鄰，假設 v1 在 p 上與 vi=v2,vi2,vi3，...，vij 相鄰（j 必然大於等於 2，不然 deg(v1)+deg(vk)≤1+k-2<n-1），此時，vk 一定與 vi2,vi3，...，vij 中相鄰的節點 vi2-1,vi3-1，...，vij-1 至少一個相鄰（不然 deg(v1)+deg(vk)≤j+k-2-(j-1)=k-1<n-1）。設 vk 與 vir-1(2≤r≤j) 相鄰，以下圖所示：在 p 中添加邊 (v1, vir)，(vk, vir-1)，刪除邊 (vir-1, vir) 獲得基本回路：C=v1v2...vir-1vkvk-1...virv1

 

　　　　  　 

　　（Ⅲ）、證實存在比 p 更長的通路

　　  　　由於 k<n，因此 V 中還有一些節點不在 C 中，由 G 的聯通性可知，存在 C 外的節點與 C 上的節點相鄰，不妨設 vk+1∈V-V(C)，且與 C 上的節點 vt 相鄰，在 C 中刪除邊 (vt-1, vt)，添加邊 (vt, vk+1) 從而獲得通路 p'=vt-1...v1vir...vkvir-1...vtvk+1，以下圖所示，顯然，p‘ 比 p 長 1，且 p’ 上有 k+1 個不一樣的節點。

　　　　　　

對 p‘ 重複 （Ⅰ）~（Ⅲ），獲得 G 中 Hamilton 通路或比 p’ 更長的基本通路，因爲 G 中節點數目有限，故在有限步內必定能獲得 G 中一條 Hamilton 通路

 

推論2.1：設 G=(V, E) 是具備 n 個節點的簡單無向圖，若是對於任意兩個不相鄰的節點 u, v∈V，均有 deg(u)+deg(v)≥n，則 G 中必定存在 Hamilton 迴路

須要指出的是，推論2.1就是著名的 Ore 定理

 

推論2.2：設 G=(V, E) 是具備 n 個節點的簡單無向圖，n≥3，若是對於任意的 u∈V，均有 deg(v)≥n/2，則 G 是 Hamilton 圖

 

4、刷題練手

 

額，暫時只寫了一道題目，仍是很是裸的求 Hamilton 迴路的題目 : SGU 122 The book

題目大意：給一個含有 n(2≤n≤1000) 個點的無向圖，圖中每一個頂點至少有 (n+1)/2 個相鄰點，讓求一條 Hamilton 迴路

注意到 "每一個頂點至少有 (n+1)/2 個相鄰點" 這句話，知足 Ore 定理，直接構造解便可，構造的方法就是在證實定理 2 時使用的方法

  1 #include <cstring>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <iostream>
  4 #include <list>
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 struct Hamilton_Circuit {
  9     static const int N=1006;
 10 
 11     bool G[N][N], vs[N];
 12     int n, next[N], head, tail;
 13 
 14     void init(int _n) {
 15         n=_n;
 16         memset(G, 0, sizeof G);
 17     }
 18 
 19     void DFS_Head(int u) {
 20         vs[u]=1;
 21         for(int i=0; i<n; i++) if(G[i][u] && !vs[i]) {
 22             next[i]=u;
 23             DFS_Head(i);
 24             return;
 25         }
 26         head=u;
 27     }
 28 
 29     void DFS_Tail(int u) {
 30         vs[u]=1;
 31         for(int i=0; i<n; i++) if(G[u][i] && !vs[i]) {
 32             next[u]=i;
 33             DFS_Tail(i);
 34             return;
 35         }
 36         tail=u;
 37     }
 38 
 39     void Reverse(int u) {
 40         for(int i=next[u], temp, last=-1; i!=-1; i=temp) {
 41             temp=next[i];
 42             next[i]=last;
 43             last=i;
 44         }
 45         int temp=tail;
 46         tail=next[u];
 47         next[u]=temp;
 48     }
 49 
 50     int Find(int u) {
 51         for(int i=head; i!=-1; i=next[i]) {
 52             if(G[u][next[i]]) return i;
 53         }
 54         return -1;
 55     }
 56 
 57     bool Extend(int u) {
 58         if(G[u][head]) {
 59             next[u]=head;
 60             return 1;
 61         }
 62         int pre=Find(u);
 63         if(pre==-1) return 0;
 64         next[u]=next[pre];
 65         next[tail]=head;
 66         next[tail=pre]=-1;
 67         return 1;
 68     }
 69 
 70     void Solve() {
 71         memset(next, -1, sizeof next);
 72         memset(vs, 0, sizeof vs);
 73         DFS_Head(0), DFS_Tail(0);
 74         int Len=1;
 75         for(int i=head; i!=tail; i=next[i], Len++);
 76         for(int i; 1; ) {
 77             if(!G[tail][head]) {
 78                 for(i=next[head]; !(G[i][tail] && G[next[i]][head]); i=next[i]);
 79                 Reverse(i);
 80             }
 81             if(Len==n) break;
 82             for(i=0; i<n; i++) if(!vs[i] && Extend(i)) {
 83                 head=i, vs[i]=1, Len++;
 84                 break;
 85             }
 86         }
 87     }
 88 
 89     void PRINT() {
 90         for(int i=head; head!=0; i=next[i]) {
 91             next[tail]=head;
 92             tail=head;
 93             head=next[head];
 94             next[tail]=-1;
 95         }
 96         for(int i=head; i!=-1; i=next[i]) {
 97             printf("%d", i+1);
 98             if(next[i]==-1) printf(" 1\n");
 99             else printf(" ");
100         }
101     }
102 };
103 
104 Hamilton_Circuit fuck;
105 int n;
106 
107 int main() {
108     scanf("%d", &n);
109     fuck.init(n);
110     for(int i=0; i<n; i++) {
111         for(int x; ; ) {
112             scanf("%d", &x);
113             fuck.G[i][x-1]=1;
114             x=getchar();
115             if(x=='\n' || x=='\r' || x==EOF) break;
116         }
117     }
118     fuck.Solve();
119     fuck.PRINT();
120     return 0;
121 }
SGU 122
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