Leetcode 69. Sqrt(x)及其擴展（有/無精度、二分法、牛頓法）詳解

Leetcode 69. Sqrt(x) Easy

https://leetcode.com/problems/sqrtx/

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.

Example 1:

Input: 4
Output: 2

Example 2:

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since 
             the decimal part is truncated, 2 is returned.

分析：

leetcode上的這個不帶精度要求，且輸出一個整數便可（其實能夠當成精度要求小於等於1）。

方法一：（二分法）

對於本題，最直觀的方法就是二分法。使用二分法時，須要注意有三個指針，分別指向前中後(pre、medium、last，在書寫、習慣、理解上，通常用left、mid、right進行表示，或者用start、mid、end)。此外，循環結束的條件也須要在書寫程序以前想好，固然這也是本題的難點。

邊界條件怎麼肯定呢？
假設left < right時循環，當left等於right時循環結束，並返回left或right，此時有left=right=mid。那麼能夠取一個整數進行實驗：好比8。
第一次循環:
mid = (1 + 8)/2 = 4 （整數除法默認向下取整）
mid > 8/mid
right = mid - 1 = 3
left = 1
第二次循環：
mid = (1 + 3)/2 = 2
mid < 8/mid
left = mid + 1 = 3
right = 3
此時因爲left == right 則跳出循環，返回的是3，可是這不該該是正確答案。若是在循環條件中加上等於，即left <= right,那麼下一步還會有一次循環：
第三次循環：（新增的）
mid = 3
mid > 8/mid
right = mid - 1 = 2
left = 3
此時left > righ結束循環。寫到這裏，咱們發現，若是在循環結束時，對於此例子，返回right是比較合適的。這是個例嗎，仍是都是這樣?

好比x=10，那麼mid的變化過程將是：5->2->3,此時10/3 == 3，直接返回了。再如x=11，那麼mid變化過程將是：5->2->3,此時11/3 == 3，直接返回了。

再好比x=12，那麼mid變化過程將是：6->3->4(此時left=4，right=5)->4(left=4,right=4)->此時right-1，變爲left = 4， right = 3，返回right。
因此right必爲返回值（在不存在mid == x / mid的條件下）

至於爲何，能夠細想一下，我也沒想明白，給出理論解釋。直觀感受是開根號爲向下取整，而返回right時，right < left，正好算是向下取整。

注意：之因此要寫成除法的形式，是由於若是兩個大數相乘，容易超內存。

int mySqrt(int x) {
    int left = 1;  // left不能取0;由於若是x=1，那麼（0+1）/2 = 0，致使mid等於0，作除法的時候會報錯
    int right = x;
    while (left <= right) {
        // int mid = (left + right) / 2;  ——> 不要這麼寫，是由於若是right很大，left+right可能會超過整型最大值
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (mid == x / mid) {
            return mid;
        }
        else if (mid > x / mid) {
            right = mid - 1;
        }
        else {  // mid < x / mid
            left = mid + 1;
        }
    }
    return right;
}

方法二：（牛頓法）

下面介紹牛頓法/牛頓迭代法。使用牛頓法千萬不要死記硬背公式，要明白推導過程。牛頓法是用來求方程的近似根。經過使用f(x)的泰勒級數的前幾項來尋找f(x)=0的根。（思考，和xgboost中使用牛頓法有什麼區別）

關於泰勒級數的介紹：（說的不錯）

https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0

關於牛頓法/牛頓迭代法：

https://baike.baidu.com/item/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%B3%95 （百科介紹的太好了）

https://www.zhihu.com/question/20690553

http://www.javashuo.com/article/p-waofaova-nt.html 

（介紹了牛頓迭代法的使用，主要對問題進行求根轉化後，而後求切線與x軸交點，並進行迭代更新此處更適合用來求根/零點，和下面這個優化算法是不太同樣的）

https://blog.csdn.net/google19890102/article/details/41087931 

（做爲優化算法的牛頓法，總體思想就是利用迭代點處的一階導數(梯度)和二階導數(Hessen矩陣)對目標函數進行二次函數近似，而後把二次模型的極小點做爲新的迭代點，並不斷重複這一過程，直至求得知足精度的近似極小值。這就和XGBoost對損失函數進行二階泰勒展開是相同的原理，且用目標函數對f_t-1(x)求一階導數，因此說利用了牛頓法；並且在XGBoost中，求得的f_t-1(x)或者說w_q(x)便是下一次更新的葉子節點的權重。結合着論文和這篇博客仍是比較容易懂，值得反覆看）

 

 爲何優化和求根都叫牛頓法呢？明明在求根和零點問題上，就是做切線嘛，明明沒有泰勒展開啊，看看百度百科的「回答」（讓我豁然開朗）：

 注意的關鍵詞：非線性方程，泰勒級數，取線性部分，近似方程。

 

下面進行詳細分析，推導出迭代關係式（用iPad手寫推導過程），並給出代碼：

 

 

 

 

 總結：

由上分析咱們能夠發現，由牛頓法和切線法得來的遞推公式是相同的，咱們姑且能夠認爲切線法是牛頓法的幾何表示。

此時，所謂的牛頓法對我已再也不神祕，但願對你也同樣如此！

int mySqrt(int x) {
    long long ans = x;
    while (ans * ans > x) {  // 其實，我很疑惑：若是ans很大的狀況下，ans*ans不該該會報錯嗎
        ans = (ans + x / ans) / 2; // 由公式化簡得來
    }
    return ans;
}

至此，Leetcode上的這道 「Easy」 題目已經解決。可是每每在面試或實際問題中，要求最後獲得的結果具有必定精度，即ans*ans - x < ε。此外，若是要求 ans值知足某一精度，咱們就必須使用sqrt()求出其真實開根號值，而後做爲判斷條件。下面對一種進行代碼書寫，總體思路和不帶精度相同，可是要注意須要把int型轉爲double型！

二分法：

double mySqrt(double x, double epsilon) {
    double left = 1.0;
    double right = x;
    double mid = left + (right - left) / 2;
    while (fabs(mid * mid - x) > epsilon) {  // 默認mid * mid不會超過範圍，不然這道題就麻煩了
        if (mid * mid > x) {
            right = mid;
        }
        else if (mid * mid < x) {
            left = mid;
        }
        else {
            return mid;
        }
        mid = left + (right - left) / 2;
    }
    return mid;
}

牛頓法：

double mySqrt(double x, double epsilon) {
    double ans = x;
    while (fabs(ans * ans - x) > epsilon) {
        ans = (ans + x / ans) / 2;
    }
    return ans;
}

 

注：

關於數學符號表示的知識，如：epsilon ：ε