算法：計算十進制數字在二進制表示1的個數

題目一

計算十進制數字在二進制表示 1 的個數

舉個例子:

• 十進制數字爲 1 時，它的二進制表示是 001，二進制表示 1 的個數爲 1；
• 十進制數字爲 2 時，它的二進制表示是 010，二進制表示 1 的個數爲 1；
• 十進制數字爲 3 時，它的二進制表示是 011，二進制表示 1 的個數爲 2；
• 十進制數字爲 4 時，它的二進制表示是 100，二進制表示 1 的個數爲 1；
• 十進制數字爲 5 時，它的二進制表示是 101，二進制表示 1 的個數爲 2；
• 十進制數字爲 6 時，它的二進制表示是 110，二進制表示 1 的個數爲 2；
• 十進制數字爲 7 時，它的二進制表示是 111，二進制表示 1 的個數爲 3；

時間複雜度 O(logn) 的解法

對於這個題目比較容易想到的是以下代碼：

int count = 0;

while(n != 0)
{
    if(n % 2 == 1)
    {
        count++;
    }
    
    n = n >> 1;
}

上述代碼主要作了兩個步驟：

• n % 2 表示對數字求模運算，也就是計算二進制的末尾是 1 仍是 0，若是二進制的末尾是 1 ，則 count 自增，count 表示的是二進制表示 1 的個數；
• n = n >> 1 表示把二進制往右移走一位，好比十進制數字 7 的二進制表示是 111 ，那麼經過右移一位後，則變成 011。

這個解決方式雖然能計算出二進制表示 1 的個數，可是咱們能夠發現這個解法的時間複雜度是 O(logn)，好比當 n 爲 7 時，它的二進制表示是 111，那麼它將會循環 3 次，也就是很是接近 log 以 2 爲底 7 的對數的值。

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題目二

程序讀入一個整數 n，假設 n 不會大於 1000，請輸出 1 到 n 每一個數字的二進制表示 1 的個數。

時間複雜度 O(nlogn) 的解法

可能有的小夥伴說，這題目二還不簡單？直接把上面的解法，增長個 for 循環不就得了。

int main() 
{
	int i, j, n, count;
	
	scanf("%d", &n);
	
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{
		j = i;
	    count = 0;
		
    	while(j != 0)
    	{
            if(j % 2 == 1)
            {
                count++;
            }
    
    		j = j >> 1;
    	}
    	
    	printf("number:%d, count:%d\n", i, count);
	}

	return 0;
}

假設輸入 7，則輸出結果：

number:1, count:1
number:2, count:1
number:3, count:2
number:4, count:1
number:5, count:2
number:6, count:2
number:7, count:3
number:8, count:1

沒錯，用上述的解法增長個 for 循環，確實能夠解決題目二的要求，這值得鼓勵，可是程序的時間複雜度是時間複雜度 O(nlogn) ，運行效率不高，因此咱們必需要有種精神，就是要用時間複雜度最少的方式去解決算法的問題，這樣才能一次一次的進步。

時間複雜度 O(n) 的解法

請先觀察下面的位運算性質：

y = x & (x - 1)

咱們看到，x 和與 x -1 這兩個數字作按位與運算，因此咱們要以二進制的角度去思考這個問題。

好比：

• 假設 x 是 3，它的二進制是 011；
• 那麼 x - 1 就是 2，它的二進制是 010；
• x & (x - 1) 運算後的二進制就是 010。

那麼 x & (x - 1) 實際效果等效於去掉 x 二進制表示中的最後一位 1，從而咱們發現原來 y 變量與 x 變量在二進制表示中，只差一個 1。

若是咱們用一個數組 f 記錄相應數字二進制表示中 1 的數量，那麼 f[i] 數組存放的值是 i 這個數字二進制表示中 1 的數量，從而咱們能夠推導獲得 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1，也就是說 i 數字比 i & (i - 1) 數字的二進制表示中的 1 的數量要多一個，這樣咱們經過一步計算就獲得 f[i] 的結果，也就是相應數字二進制表示中 1 的數量結果。

代碼以下：

int main() 
{
    int n,i;
    int f[1001];
    
    f[0] = 0;
    
    scanf("%d", &n);

    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
    }
    
    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        printf("%d ", f[i]);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}

這個程序的過程以下：

• 首先先讀入一個整數 n，表明要求解的範圍;
• 而後循環 n 次，每一次經過 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1 計算獲得 f[i] 的值，也就是數字的二進制表示 1 的個數;
• 最後輸出 1 到 n 中每一個數字二進制表示中 1 的個數。

針對這個解法，程序的時間複雜度是 O(n)。

原文出處：https://www.cnblogs.com/xiaolincoding/p/12219909.html