簡明遞歸魔法

概述

漢諾塔是一個經典的遞歸問題，雖然說看人家寫好的算法程序就那麼幾行，但着實理解有必定的難度。查閱了一些資料，參閱別人的思路，對漢諾塔算法進行一番梳理。

問題來源

有一個梵塔，塔內有三個座A、B、C，A座上有若干個盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）。

須要把這些個盤子從A座移到C座，中間能夠借用B座，但每次只容許移動一個盤子，而且在移動過程當中，3個座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。

實例

咱們從簡單的來看一下如何移動。

只有一個盤子

傻子也知道，直接移動到C座就OK了。

有兩個盤子 [1 2]

1. 把1移動到B

2. 把2移動到C

3. 把1移動到C

有三個盤子 [1 2 3]

1. 把1移動到C

2. 把2移動到B

3. 把1移動到B

4. 把3移動到C

5. 把1移動到A

6. 把2移動到C

7. 把1移動到C

雖然說好像感受有必定規律，但好像說不出來個因此然。

規律

對於上面的例子，咱們能夠總結出兩點：

1. 最後一步確定是把1移動到C

2. 若是盤子數大於1（1就直接移了），確定要把最大的盤子上面的所有盤子放到B上，而後將最大的放到C上

由上面的兩點，咱們來探究一下遞歸關係。

假設有n個盤子，分別標記爲 [1 2 3... n] 大數表示大盤子，已經在A座上放好。

初始狀態

A：有n個盤子
B：空
C：空

咱們如今有一個方法：hanoi(int n, String a, String b, String c) ，做用就是將n個盤子從a座藉助b座移動到c座。

咱們先不考慮它是怎麼移過去的。

下面咱們使用這個方法，結合上面咱們總結的規律進行移動盤子。

第一步，將[1 2 3... n-1]個盤子從A移動到B上，再將 n 盤子移動到C上

hanoi(n-1, A, C, B)
// 將A上的n-1個盤子移動到B上
hanoi(1, A, B, C)
// 將A上的一個盤子移動到C

如今咱們的盤子狀況爲

A：空
B：有n-1個盤子
C：最大的n盤子

因爲最大的n盤子上能夠聽任何盤子，你能夠徹底忽略它的存在，不用管它，這時候的情形（忽略n盤子的存在）是否是跟初始狀態相似呢（一個有盤子，其他的沒有盤子）？是的，只不過順序發生的變化而且盤子的數量減小了一個。

咱們的總盤子數爲：n-1

咱們的B座就是初始狀態的A座，A座就是初始狀態的B座，C座仍是C座。

第二步，將B座上的[1 2 3... n-1-1] 從B移動到A上，將n-1盤子從B移動到C

hanoi(n-2, B, C, A)
// 將B上的n-1-1個盤子移動到A上
hanoi(1, B, A, C)
// 將B上的一個盤子移動到C

如今咱們的盤子狀況爲

A：有n-1-1個盤子
B：空
C：最大的n盤子和倒數第二個n-1盤子

C上的盤子已經擺好，能夠認爲是空座，是否是又回到了初始狀態的情形呢？是的，盤子數減一。

第三步，將A座上的[1 2 3... n-2-1] 從A移動到B上，將n-2盤子從A移動到C

hanoi(n-3, A, C, B)
// 將A上的n-2-1個盤子移動到A上
hanoi(1, A, B, C)
// 將A上的一個盤子移動到C

又回到相似第一步執行後的情形了，如此反覆，直到全部盤子都成功移動到C上爲止。

通過上述的推敲，咱們知道，每通過一步，盤子數少一個，而且A和B兩座的位置互換（這裏指他們輪流充當初始狀態A的角色）。

代碼實現(Java)

public static void hanoi(int n, String a, String b, String c) {
    if (n == 1) {
        System.out.println("將" + a + "最上面的盤子移動到" + c);
        return;
    }
    // 當前盤子在a上，將當前盤子數-1放到b上
    hanoi(n-1, a, c, b);
    // 剩下一個放到c上
    hanoi(1, a, b, c);
    // 當前盤子在b上，b是下一輪的a， a b 換位置，進行下一輪
    hanoi(n-1, b, a, c);
}

調用：

hanoi(1, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動到C

hanoi(2, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動到B
// 將A最上面的盤子移動到C
// 將B最上面的盤子移動到C

hanoi(3, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動到C
// 將A最上面的盤子移動到B
// 將C最上面的盤子移動到B
// 將A最上面的盤子移動到C
// 將B最上面的盤子移動到A
// 將B最上面的盤子移動到C
// 將A最上面的盤子移動到C

解釋一下a b c 和A B C的關係

A B C是實際的盤子座，a b c表示的是一種狀態，即初始狀態a 表示有待移動的若干個盤子的座，b c始終表示空座（c上可能有盤子，但已經擺好，能夠認爲爲空）。

每移動一輪，A座與B座交換存盤子，若A有盤子，A就是參數a，若B有盤子，B就是參數a，C位置不動。

總之a 始終表明堆着盤子的座。