P3305 [SDOI2013]費用流

 

題目描述

Alice和Bob在圖論課程上學習了最大流和最小費用最大流的相關知識。 最大流問題：給定一張有向圖表示運輸網絡，一個源點S和一個匯點T，每條邊都有最大流量。

一個合法的網絡流方案必須知足：

(1)每條邊的實際流量都不超過其最大流量且非負；

(2)除了源點S和匯點T以外，對於其他全部點，都知足該點總流入流量等於該點總流出流量；而S點的淨流出流量等於T點的淨流入流量，這個值也即該網絡流方案的總運輸量。

最大流問題就是對於給定的運輸網絡，求總運輸量最大的網絡流方案。 上圖表示了一個最大流問題。對於每條邊，右邊的數表明該邊的最大流量，左邊的數表明在最優解中，該邊的實際流量。須要注意到，一個最大流問題的解可能不是惟一的。

對於一張給定的運輸網絡，Alice先肯定一個最大流，若是有多種解，Alice能夠任選一種；以後Bob在每條邊上分配單位花費（單位花費必須是非負實數），要求全部邊的單位花費之和等於P。

總費用等於每一條邊的實際流量乘以該邊的單位花費。須要注意到，Bob在分配單位花費以前，已經知道Alice所給出的最大流方案。現茌Alice但願總費用盡可能小，而Bob但願總費用盡可能大。咱們想知道，若是兩我的都執行最優策略，最大流的值和總費用分別爲多少。

輸入輸出格式

輸入格式：

 

第一行三個整數N，M，P。N表示給定運輸網絡中節點的數量，M表示有向邊的數量，P的含義見問題描述部分。爲了簡化問題，咱們假設源點S是點1，匯點T是點N。

接下來M行，每行三個整數A，B，C，表示有一條從點A到點B的有向邊，其最大流量是C。

 

輸出格式：

 

第一行一個整數，表示最大流的值。第二行一個實數，表示總費用。建議選手輸出四位以上小數。

 

輸入輸出樣例

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3 2 1
1 2 10
2 3 15

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10
10.0000

說明

【樣例說明】

對於Alice，最大流的方案是固定的。兩條邊的實際流量都爲10。

對於Bob，給第一條邊分配0.5的費用，第二條邊分配0.5的費用。總費用爲：10*0.5+10*0.5=10。能夠證實不存在總費用更大的分配方案。

【數據規模和約定】

對於20%的測試數據：全部有向邊的最大流量都是1。

對於100%的測試數據：N < = 100，M < = 1000。

對於l00%的測試數據：全部點的編號在I..N範圍內。1 < = 每條邊的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。給定運輸網絡中不會有起點和終點相同的邊。

 

題解：

這是一個假的費用流，不要被名字騙啦，其實這是一個最大流的題目，思考一下，想要得到最大值，咱們只須要讓所有的P在最長的邊上就能夠了（仔細想一想，我有最長邊必定是最長邊上*p），可是到達最大流咱們可能通過多個途徑，咱們須要作的是找到一條路

，使其中最長的邊最短，這就須要二分了，咱們二分最長的那個邊，使其最短。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1000+10;

int n,m,p;//點數、邊數
int sp,tp;//原點、匯點
struct node
{
    int v,next;
    double cap;
}mp[MAXN*10];
int pre[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];//cur爲當前弧優化，dis存儲分層圖中每一個點的層數（即到原點的最短距離），pre建鄰接表
int cnt=0;
double ans=0;
struct {
    int x,y;
    double z;
}edge[MAXN];
void init()//不要忘記初始化
{
    cnt=0;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
}
void add(int u,int v,double w)//加邊
{
    mp[cnt].v=v;
    mp[cnt].cap=w;
    mp[cnt].next=pre[u];
    pre[u]=cnt++;
    mp[cnt].v=u;
    mp[cnt].cap=0;
    mp[cnt].next=pre[v];
    pre[v]=cnt++;
}
bool bfs()//建分層圖
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    queue<int>q;
    while(!q.empty())
        q.pop();
    q.push(sp);
    dis[sp]=0;
    int u,v;
    while(!q.empty())
    {
        u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=pre[u];i!=-1;i=mp[i].next)
        {
            v=mp[i].v;
            if(dis[v]==-1&&mp[i].cap>0)
            {
                dis[v]=dis[u]+1;
                q.push(v);
                if(v==tp)
                    break;
            }
        }
    }
    return dis[tp]!=-1;
}
double dfs(int u,double cap)//尋找增廣路
{
    if(u==tp||cap==0)
        return cap;
    double res=0,f;
    for(int &i=cur[u];i!=-1;i=mp[i].next)
    {
        int v=mp[i].v;
        if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(cap-res,mp[i].cap)))>0)
        {
            mp[i].cap-=f;
            mp[i^1].cap+=f;
            res+=f;
            if(res==cap)
                return cap;
        }
    }
    if(res==0)
        dis[u]=-1;
    return res;
}
double dinic()
{
    double ans=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=0;i<=tp;i++)
            cur[i]=pre[i];
        ans+=dfs(sp,inf);
    }
    return ans;
}

bool check(double x)
{
    init();
    for (int i = 0; i <m ; ++i) {
        add(edge[i].x,edge[i].y,min(edge[i].z,x));
    }
    sp=1,tp=n;
    double sum=dinic();
    return sum==ans;
}
int main()
{

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    init();
    double MAX=0;
    for (int i = 0; i <m ; ++i) {
        scanf("%d%d%lf",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);
        add(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].z);
        MAX=max(MAX,edge[i].z);
    }
    sp=1;tp=n;
     ans=dinic();
    printf("%.0lf\n",ans);
    double l=0,r=500001,mid;
    while (r-l>(1e-7))
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))
        {
            r=mid;
        } else
        {
            l=mid;
        }
    }
    printf("%lf\n",mid*p);
    return 0;
}

　　

P3305 [SDOI2013]費用流