C語言關於補碼的解釋及誤區

在中文的C語言教材中，總有些人被原碼、反碼、補碼弄得暈頭轉向，下面的文章寫的不錯，闡述明瞭，特轉載之……

（其實我也以爲反碼之類的東西是有些人自做聰明弄出來的定義，反而弄得人暈頭轉向，有時候簡單挺好）

正文開始：

關於補碼，看過一些書籍和網文，基本都是在「求反加一」的方法、步驟上反覆強調，而對於補碼的本質和定義，討論的不足。這就對初學者的形成了誤導，使得不少人都糾結在－128的補碼求取過程當中。
關於反碼和原碼，你們都是在鄭重其事的講解，其實，學過的人都知道，它們的重要性是 0 ！
作而論道把本身對於補碼的認識寫在下面，希望對讀者有些幫助。

加法器
計算機裏面，只有加法器，沒有減法器，全部的減法運算，都必須用加法進行。
即：減去某個數字（或者說加上某個負數）的運算，都應該研究如何用加法來完成。

模、補數
在平常生活當中，能夠看到不少這樣的事情：
把某物體左轉 90 度，和右轉 270 度，在不考慮圈數的條件下，最終的效果是相同的；
把分針倒撥 20 分鐘，和正撥 40 分鐘，在不考慮時針的條件下，效果也是相同的；
把數字 87，減去 25，和加上 75，在不考慮百位數的條件下，效果也是相同的；
……。
上述幾組數字，有這樣的關係：
　　90 + 270 = 360
　　20 + 40 = 60
　　25 + 75 = 100
式中的 360、60 和 100，就是「模」（也能夠理解成「進制」）。
式中的 90 和 270、20 和 40，以及 25 和 75，就是一對對「互補」的數字。

知道了「模」，求某個數字的「補數」，就是垂手可得的了：
若是模爲 365，數字 120 的補數爲：365 - 120 = 245。

用補數代替原數，可把減法轉變爲加法。出現的進位就是模，此時的進位，就應該忽略不計。

二進制數的模
前面說過的十進制數 25 和 75，它們是 2 位數的運算，模是 100，即 1 的後面加上 2 個 0。
若是有 3 位數參加運算，模就是 1000，即 1 的後面加上 3 個 0。
這裏的 1000，是十進制數的一千，能夠寫成 10^3，即 10 的 3 次方。
推論：有多少位數參加運算，模就是在 1 的後面加上多少個 0。

對於二進制數字，模也是這樣推算。
若是是 3 位二進制數參加運算，模就是 1000，即 1 的後面加上 3 個 0；
那麼當 8 位二進制數參加運算，模就是 1 0000 0000，即 1 的後面加上 8 個 0。
16 位二進制數參加運算，模可就大了，是 1 的後面加上 16 個 0。
注意：這裏提到的 一、0，都是二進制數。
8 位二進制數的模能夠按照十進制寫成 2^8，即 256。
16 位數二進制數的模，就是 2^16，按照十進制，它就是 65536。

二進制數的補碼
求二進制數的補數，目的是往計算機裏面存放。
在計算機裏面，存放的數字什麼的，都稱爲機器碼；那麼二進制形式的補數，也就改稱爲補碼了。
通常狀況下，都是以 8 位二進制數來討論補碼，少數也有用 16 位數的。

計算時加上正數，是不須要進行求取補數的；只有進行減法（或者加上負數），才須要對減數求補數。
補碼就是按照這個要求來定義的：正數不變，負數即用模減去絕對值。

已知一個數 X，其 8 位字長的補碼定義爲：

　　　　　　/  X        0 <= X <= +127 ；正數和0的補碼，就是該數字自己
 　[X]補 = |
　　　　　　\ 2^8 －|X|     －128 <= X < 0 ；負數的補碼，就是用 1 0000 0000（2的8次方），減去該數字的絕對值

例如 X = －126，其補碼爲 1000 0010，計算方法以下：

　　　　1 0000 0000
　　　－　0111  1110
　－－－－－－－－－－－
　　　　　1000 0010

能夠看出，按照補碼的定義來求補碼，概念十分清晰，方法、步驟也是十分簡單的。

應用補碼進行計算
用補碼計算：83－25＝58。

　　　　83　　－－－都變成補碼，再用加法運算－－>　   0101 0011
　　－　25　　－> 1 0000 0000 - 0001 1001－>   + 1110 0111
　－－－－－   　　　　　　　　                               －－－－－－－－
　　　　58　　<－－忽略進位1，結果就是正確的－－[1]  0011 1010

計算結果若是超出了－128～＋127的範圍，結果將是錯誤的，這是沒有辦法糾正的。

應用補碼進行計算，徹底符合前面介紹的「用補數可把減法轉換成加法」的作法，只要忽略進位（這個進位1，就是求補的時候，加進去的1 0000 0000中的1），結果就是正確的。

這些關於補數、補碼的定義、方法、步驟，讀者若是看懂了前面的文字，相信你們本身均可以總結出來。
那麼爲何總有些網友要提出關於求取補碼的問題呢？
在作而論道看來，就是由於不少教材和網文都在這個問題上「多此一舉」。

關於補碼的蛇足
補碼出現後，後人又補充了很多「蛇足」：符號位、求反加1、原碼、反碼......。
下面的表格給出了一些 8 位數的補碼。

－－符號位

從這個表格中，能夠看出特色：正數的最高位都是0，負數的最高位都是1。
這樣一來，有人就把最高位理解成了符號位。說什麼是規定的用0表明正號，......。而且鄭重其事的補充說明：「符號位也參加運算」。真能忽悠！賣柺、賣車的都甘拜下風。
其實，前面說過的 補數 和 補碼的定義式 裏面，根本就沒有什麼符號位。這最高位的一、0是天然出現的，並非由人來規定的。
－－求反加一
負數補碼的後面七位，也能夠看出一個不徹底的規律：它們和絕對值之間存在着「求反加一」的關係。
因而，又有人推出了這個不一樣於定義式的算法。
－－原碼和反碼
因爲使用「求反加一」來求取補碼，順便又引出了 原碼 和 反碼 兩個垃圾概念。

其實，「求反加一」的計算方法只是適用於計算二進制形式的補數，它並非通用的。
而且把「求反加一」用於求－128的補碼，有個溢出的現象，不少人都在這裏被弄瘸了很長時間。
原碼和反碼也只不過是「人工」進行「求反加一」時的中間過程，在計算機裏面根本是不存在的，它們也就沒有絲毫用處。

作而論道的建議
求取補碼，就按照定義的規定，負數採用「模減去絕對值」的方法來求，這是求補數的通用方法，適合於各類進制、各類大小的數字。
不要用求反加一的方法，也就不用理會原碼和反碼了，也不牽涉符號位的問題。
之後的計算，也就沒有必要特殊說明：「符號位一塊兒參加運算...」，由於根本就沒有什麼符號位。

若是把原碼和反碼、符號位等等垃圾概念，從計算機的書中刪減掉，學習補碼將會省力很多。