工體夜店機率學

前一陣去了趟天堂超市，一個夏天不曾行動，略顯生疏。和妹子們溫習了下喝酒經典無趣項目——搖骰子，趁閒思忖，不過幾率遊戲罷了，遂做此拙文，略析一二。

遊戲規則

若干人參與遊戲，每人若干骰子，約定點數 1 百搭。隨機搖勻，按序進行。第1位玩家賭全場至少有幾個點數幾（點數必須大於1），第2位玩家選擇信仍是不信。若是信，開盤，看第1位位玩家賭的是否正確，正確，第2位玩家輸，錯誤，第1位玩家輸。若是不信，第2位玩家繼續賭全場有幾個點數幾（數量和點數必須至少有一個大於前一我的，且數量不能小於前一我的），依此類推。

實際上，在每輪博弈中，每一個點數出現的機率相同（2~6），減去本身手中已知的骰子以後，這個遊戲能夠簡化爲：

計算 n 個骰子出現 x 個同一點數的機率

好比咱們一共 4 我的，每人 5 個骰子，某一輪我上家妹子賭 9 個 六，我手上是 1 個 六，1 個 一，因而，這輪就成了計算除了個人骰子之外共 3*5=15 個骰子出現 9-1-1=7 個 六 和 一 的機率。

建模

設共 n 個骰子，n 個骰子取 x 個，共有組合數爲：

$$ C_n^x $$

記有 x 個同一點數的機率爲 p(n, x)，則有推導：

推導一

在點數 1 百搭的狀況下，對於一個骰子，某一點數（2~6）出現機率爲 (1+1)/6，即 1/3，不出現的機率即爲 2/3，則有：

$$ p_{(n,x)}=C_n^x(\frac13)^x(\frac23)^{n-x}=\frac{C_n^x2^{n-x}}{3^n} $$

推導二

n 個骰子有序排列，共有 6^n 種組合，點數 1 和某點數共有 2^x 種組合，剩餘點數共有 4^(n-x) 種組合，則有：

$$ p_{(n,x)}=\frac{C_n^x2^x4^{n-x}}{6^n}=\frac{C_n^x2^x2^{2(n-x)}}{2^n3^n}=\frac{C_n^x2^{2n-x}}{2^n3^n}=\frac{C_n^x2^{n-x}}{3^n} $$

兩者異曲同工，擇一便可。

最終公式

可是實際上，某點數次數爲 x 或以上都算猜對，實際要計算的是 x 的分佈函數，即總機率：

$$ F_{(n,x)}=F\{X \ge x\}=\sum_{i=x}^{n}p_{(n,x)}=\sum_{i=x}^{n}\frac{C_n^x2^{n-x}}{3^n} $$

數據觀察

令 n=5，則有

x	p	F
5	0.41%	0.41%
4	4.12%	4.53%
3	16.46%	20.99%
2	32.92%	53.91%
1	32.92%	86.83%
0	13.17%	100%

可見，對於一我的來說，搖出兩個相同點數和搖不出相同點數的機率最大，接近三分之一，而若是賭一我的手上有至少兩個相同點數，贏率略超 50%。但若是繼續，賭有至少三個相同，贏率將迅速跌至 20%。顯然，每人手上有兩個相同點數是這個遊戲獲勝的臨界點。

以上 n=5 的案例適用於二人 solo 局，若是人數不止二人，n 取對應數字便可。對此，我特意寫了一個小程序，來方便你們實戰使用數學學習。

小程序使用路徑：大根實驗室 -> 機率計算器

實戰

經過以上分析顯然知道，猜的點數並不影響贏的機率（點數 2 並不比點數 6 更容易搖出來），遊戲的關鍵點在於猜的點數的數量，尤爲是上面分析的臨界點，誰先到達臨界點，誰的獲勝機率更高。而點數則能夠做爲迅速推近臨界點的手段——若是願意，你能夠第一次就叫點數 6 的臨界點。

如下經過不一樣場景做演練：

二人 solo 局

根據程序分析顯示，數量 2 做爲臨界點，贏面基本五五開，可是下一個數量 3，贏面迅速降低至 21%，因此在數量 3 上的玩家，必須開。

實際應用來說，好比你手上有 3 個六，若是是你先手，直接猜 5 個六（3+2=5），那麼對面只有選擇開，不然他繼續猜任何數字任何點數，你均可以以較大的贏面開了。

反之亦然，若是對面先手直接 5 個六，而你手上有 3 個六，已經到達臨界值 2（5-3=2），那麼你也只有開了。

多人混戰局

多人局和二人局在數學理論上是同樣的，可是多人局的關鍵不在於搶佔臨界點了，而在於避免風險，即避免開盤，由於只要開盤，哪怕是 99% 的贏面，都有 1% 的可能會輸，畢竟贏了又沒有獎勵，輸了卻要喝酒。因此，把這個好機會留給別人吧！

以4人局爲例。

臨界點爲 5，那麼你能夠選擇猜 4，這樣下家選擇開你的時候，贏面很小，若是不開你的話，下次再到你的時候，你的上家至少得是 7，贏面只有 20%，開之。

實際應用，好比你手上有 3 個六，若是是你先手，直接猜 7 個六（3+4=7），這樣下家開你，你有 79% 的機率獲勝，徹底不虛；若是對面不開你，並且你們都很謹慎地加碼，那麼下次再到你的時候，你的上家至少是 10 個六，贏面只有 20%，果斷開他。固然最好的狀況是還沒輪到你，就已經被別人開了。

總結

經過以上分析，能夠看到這個遊戲的核心對戰策略大體如此。可是在實際操做過程當中，還會遇到諸如心理、性格等其餘方面的干擾，與本文無關，很少作討論。

參考

• LaTex數學公式語法
• Markdown中Latex 數學公式基本語法