關於FFT的硬件實現

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DFT在實際應用中很是重要，能夠計算信號的頻譜，功率譜和線性卷積等。

離散傅里葉變換的公式：

其中：

  稱爲旋轉因子。

由歐拉公式可得：

直接按DFT變換進行計算，當序列長度N很大時，計算量很是大，所需的時間很是長。

FFT是 快速傅里葉變換。其算法原理這裏再也不贅述，網上資料或者相關書籍的介紹不少。主要分爲按時間抽取法和按頻率抽取法。

這裏介紹按時間抽取的基2算法的硬件實現。

下面介紹的部分須要瞭解蝶形運算是什麼，這裏不作分析。

先來看一張16點的蝶形運算圖：

第1級（第1列）每一個蝶形的兩節點「距離」爲1，第2級每一個蝶形的兩節點「距離」爲2，第3級每一個蝶形的兩節點「距離」爲4，第4級每一個蝶形的兩節點「距離」爲8。由此推得，第m級蝶形運算，每一個蝶形的兩節點「距離」L=2^(m-1)。

對於16點的FFT，第1級有8組蝶形，每組有1個蝶形；第2級有4組蝶形，每組有2個蝶形；第3級有2組蝶形，每組有4個蝶形；第4級有1組蝶形，每組有8個蝶形。由此可推出，對於N點的FFT，第m級有N/2L組蝶形，每組有L=2^(m-1)個蝶形。

從上圖咱們能夠分析出左邊輸入端與右邊輸出端的順序關係，用二進制表示爲：

左邊                                                      右邊

0000                                                     0000

1000                                                     0001

0100                                                     0010

1100                                                     0011

0010                                                     0100

1010                                                     0101

0110                                                     0110

1110                                                      0111

0001                                                     1000

·······                                                      ·······

不難看出，右邊的逆序正是左邊的正序，利用這一點，能夠事先將輸入序列從新排序。

關於旋轉因子，能夠事先計算出來 ，因爲FPGA不擅長作浮點運算，須要將計算出的旋轉因子擴大2^n倍。而後以.mif的格式存放在FPGA片上ROM中。

關於輸入序列的長度N，最好是2的整數次冪。

爲了提升速度，可將FFT的輸入序列存放在FPGA片上RAM中，因此在使用FFT的項目中，選取FPGA芯片時，要考慮片上RAM的容量。

將片上RAM設置爲TRUE DPRAM，兩個口讀，兩個口寫，提升存取效率，實際使用中自有妙用。

根據上圖的蝶形運算圖，能夠大體肯定 FFT的計算量。

直接的DFT算法運算量：

N*N ，單位爲複數乘法的時間MT；

使用FFT算法的運算量：

N/2*log2(N)，單位爲數乘法的時間MT；

算法運算量 比較：

根據蝶形運算圖，能夠將FPGA設計層級結構分爲3層：

蝶形級數循環層，

蝶形組數循環層，

蝶形個數循環層。

複數乘法可直接使用FPGA片內自帶的乘法器，注意數據位寬，謹防溢出。

另外，被乘數和乘數必須爲原碼，作乘法時必須考慮數據的正負符號問題。

設計加法器和減法器時，因爲存在符號問題，包括正數+正數，正數+負數，負數+負數，以及正數-正數，正數-負數，負數-正數，負數-負數，這些判斷操做很是繁瑣，設計時格外注意數據的大小及正負。

這裏咱們能夠將設計變的簡單：

將輸入到加法器和減法器的兩個數據先轉換爲補碼，而後作加法運算，輸出時再將補碼轉換成原碼便可。

爲了節省資源，儘量使用移位代替乘法和除法。爲了提升速度，可在適當的地方加入流水線操做。

關於精度問題：因爲FPGA不擅長作浮點運算，必然存在精度問題。

首先，對存入ROM的旋轉因子進行了放大，引入精度問題。

而後，在旋轉因子的乘法中，引入精度問題。

再後續旋轉因子的還原中，也引入精度問題。

提升精度，一方面在放大旋轉因子時，能夠適當提升放大倍數，另外一方面，旋轉因子還原中，儘可能把還原除法放在最後輸出的地方。

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