Petrozavodsk Camp2018 題解

Day 1: t.me/umnik_team Contest

A. Ciphertext

　　題意：有一套對01串的前綴編碼系統。給出 $k (\leq 52) $ 個編碼規則，每一個長度不超過 \(52\)。顯然，這些01串是不可能有前綴包含關係的。再給出一個長度爲 $N (\leq 52 \times 10^6) $的字符串 \(S\)。如今要把 \(S\) 分解成儘可能多的段，使得每段都不能被解碼。
　　題解：首先咱們考慮，單個的 \(0\) 和單個的 \(1\) 是否出如今編碼規則裏。顯然只有可能存在某個纔有意義（不然是答案是 \(N\) 或者 \(-1\)）。不妨設存在 \(0\) 且不存在 \(1\)。
　　由於是prefix-free編碼系統，有一個很顯然的性質是：串 \(w\) 是否能被解碼，等價於 \(0^k w\)可否被解碼（以前放 \(k\) 個 \(0\)）。
　　對於串 \(S\)，假設咱們固定了一段不能解碼的後綴，考慮前面一段應該怎麼劃分。首先，因爲\(0\) 能被解碼，以前劃分的每一段至少包含一個 \(1\)，即最大劃分數是 \(1\) 的個數。此外，咱們也能構造出這個方案：對於每個\(1\)，把它和以前連續的 \(0\) 並在一塊兒，獨立成一段。
　　因此如今問題就是，找到最短的一段不能解碼的後綴，而後答案再加上以前 \(1\) 的個數。爲了快速找合法後綴，咱們能夠對編碼倒着創建trie圖，並拿 \(S\) 在圖裏跑一跑。一旦到了一個不是任何編碼結束點的點便可中止。

B. Tree Hull

　　題意：給出一棵 \(N (3 \times 10^5)\) 個點的樹。初始每個點是白的。有 \(M\) 次操做，每次把一個點的顏色取反。每次操做後，問全部黑點構成的生成子樹中的邊權和。
　　題解：考慮轉化。一條邊在生成子樹中，當且僅當它的兩側都有黑點。對於每條邊，暴力維護它兩側的黑點數量，記爲pair \((a,b)\)。
　　當一個點顏色發生變化時，它到根路徑上的邊的某一維會變化\(1\)，其他邊會在另外一維變化 \(1\)。利用樹鏈剖分，咱們很容易把它們劃成 \(log\) 段來維護。
　　如今考慮這麼一個問題：要維護一些pair，每次把一段區間的某一維集體變化\(1\)（保證都是非負整數），或者全局詢問全部兩維都不爲 \(0\) 的元素的權值和。直接維護很難，容斥一下，只要會統計某一維剛好等於 \(0\) 的權值和就行了。直接用線段樹維護區間最小值以及它的個數便可。這樣問題就解決可。
　　其實黑點會構成一棵相似虛樹的東西，咱們能夠直接按 \(dfs\) 序來維護權值和。用經典的 set 操做來支持加和刪。注意這題有點特殊，加入 \(dfs\) 序最小和最大的點時，貢獻計算須要特判。

C. Tree Average Weight

　　題意：給出一個長度爲 \(N (\leq 10^6)\) 數組 \(d_i\)，表示一棵樹的每一個點的度數。\(d_i=-1\) 表示這個點的度數沒有要求。在全部符合要求的樹中等機率選擇一種。定義一條邊 \((u,v)\) 的代價是 \(size_u \times u+size_v \times v\)，一棵樹的代價是邊的代價之和。求指望的總代價。
　　題解：推一下式子，其實咱們只需求 \(\sum \limits_i (d_i-1) \cdot i\) 的指望。
　　方案是在全部合法形態的樹裏隨機的，很天然地想到prufer序列。而 \((d_i -1) \cdot i\) 正好是prufer序列裏的元素和。咱們還有 \(-1\) 這幾種標號沒有填過，要填的個數也是肯定的，那麼指望和顯然是取個平均值便可。

D. Intersection of Parabolas

　　題意：給出正整數 \(a\)，求函數 \(y=(x-a)^2\) 和 \(x=(y-a)^2\) 圍成的區域的面積。
　　題解：暴力積分後，答案是 \(4a-\frac{1}{3}\)。

E. Hamming

　　題意：給出一個長度爲 \(N(\leq 8 \times 10^3)\) 的 \(01\) 串。對於每個 \(k \in [1,N]\) 都要詢問：全部長度爲 \(k\) 的子序列，兩兩的海明距離之和。對\(40961\)取模，時限\(25\)s。
　　題解：轉換求和思路，先枚舉詢問 \(k\)，再枚舉咱們關注的位置 \(pos\)，如今咱們要快速知道：原序列中有多少左邊長 \(pos-1\)，右邊長 \(k-pos\)，且中間是\(0/1\) 的方案數，把它們乘一下加到答案裏。這個東西沒法快速算，那就嘗試先全都預處理好。
　　能夠用分治來解決這個問題。設 \(f_{l,r,x,y}\) 表示只考慮 \((l,r)\) 這一段，左邊選了任意 \(x\) 個，右邊選了任意 \(y\) 個，且中間是 \(1\) 的方案數。轉移比較顯然，好比先枚舉 \(1\) 落在了 \((l,mid)\) 這個區間，因此就有 \(f_{l,r,x,y+z} \leftarrow f_{l,mid,x,y} \times C_{r-mid}^z\)；另外一側也同理。這是一個很顯然的卷積式子，能夠用 \(NTT\) 加速。這樣，一次分治的複雜度是 \(O(len^2 \log len)\)的。稍微推理一下可發現，全部區間加起來複雜度等效於 \(O(N^2 \log N)\)。

F. Knapsack

　　題意：有 \(N (\leq 60)\) 種物品，每種大小是 \(a_i\)，且正好有兩個。求拼出重量 \(W(4 \times 10^{18})\) 的方案數。其中 \(2 a_i \leq a_{i+1} \leq 10^{18}\)。
　　題解：狀態數不會不少（證實留坑）。暴力 \(DP\) 便可。

G. Algebra on Segment

　　題意：給出 \(N (\leq 10^5)\) 個在模域 \(p (\leq 10^9)\)下的正整數，\(p\) 是一個質數。有 \(Q (\leq 10^5)\)個操做，每次給出 \((l,r,x) (x \geq 1)\)，執行 \([l,r]\) 區間乘 \(x\)；或者詢問區間 \((l,r)\) 這些元素在模域 \(p\) 下的乘法的階。
　　題解：先求出 \(p\) 的原根，把全部元素替換成原根的冪次，這樣詢問就變成了在模域 \(p-1\) 下的加法的階了。
　　稍微推理一下，得詢問的答案爲 \(gcd(a_l,a_{l+1},\dots,a_r,p-1)\)。直接用線段樹維護區間加區間gcd便可（要用到差分）。
　　這裏咱們要對 \(N+Q\) 個數求原根的冪次，這是複雜度瓶頸。BSGS的時候不要對 \(\sqrt P\) 分塊，而要設 \(m=\sqrt {P \times (N+Q)}\)。若是使用hash（並且本題有點卡常，必定得用hash），複雜度就是 \(O(m)\) 的。

H. Continue the Sequence

　　題意：給出 \(N (N \leq 10^5)\) 個數 \(y_i\)，分別表示某多項式在 \(x=i\) 時的點值。你要讓這個多項式的度數儘量小。如今問它在 \(x=N+1...N+M (M \leq 8 \times 10^5)\) 處的點值。
　　題解：本質是一個插值模型。若是採用拉格朗日插值，前綴積後綴積優化後，也只能 \(O(N)\) 求一次單點的值，太慢了。因此用牛頓插值，考慮差分。
　　作法①：對於 \(1\) ~ \(N\) 這 \(N\) 個數，咱們暴力差分 \(N-1\) 次，最後獲得一個數 \(d\)。那麼顯然，若是加上了 \(N+1 \dots N+M\) 這些數一塊兒差分，到這一層也會所有變成 \(d\)。咱們在後面添上\(M\)個 \(d\)，再逆差分回去，就獲得了答案數組。這個模擬是 \(O(NM)\) 的。
　　考慮加速這個過程。設一個多項式爲 \(y_i \cdot x^i\)。注意到，每差分一次，就是把原多項式乘上一個 \((1-x)\) ！由於 \((1-x)^{N-1}\)也能夠快速計算得出，因此用一次 \(FFT\) 乘法，咱們就能算出差分後的新多項式。它必然是從 \(x^N\) 開始有值，而後咱們把大於 \(n\) 次的係數都抹掉，再把 \(N+1~N+M\) 這些冪次前面的係數改爲 \(x^N\) 前的係數。那麼怎麼逆差分回去呢？那顯然就是每次除 \((1-x)\) 呀。固然咱們也能證實這件事，模擬差分過程，逆回去本質上是係數前綴和。而 \(\frac{1}{1-x}\)展開其實就是 \(1+x+x^2 \dots\)。那麼咱們只需把 \((1-x)^{N-1}\) 多項式求逆，乘上它便可獲得答案係數。
　　作法②（標解）：假設點值是 \(a_0\) ~ \(a_{n-1}\)。構造 \(n\)次多項式 \(f(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} c_i \cdot x^{\lfloor i \rfloor}\)。顯然咱們能夠經過暴力的方法，逐位肯定 \(c_i\) 的值，由於有 \(c_k \cdot k!=a_k-\sum \limits_{i=0}^{k-1} c_i \cdot x^{\lfloor i \rfloor}\)。注意到降低冪能夠化成兩個階乘想出，該式子是FFT形式。因此咱們能夠分治FFT，每次求完左邊的 \(c_i\) 的時候，求出它們集體對右區間的貢獻。這樣咱們能夠在 \(O(N \log^2 N)\) 時間內求出 \(c_i\)。由於求後面的點值時多項式不變，咱們能夠相似地作一遍FFT，算出 \(c_0\) ~ \(c_{n-1}\) 對 \(c_{n}\) ~ \(c_{n+m-1}\) 的貢獻。求出了後者後便可還原回 \(a_i\)。這一步是一個 log。
　　作法③：威威有更快的作法，懶得寫了。

I. Partition Into Teams

　　題意：有 \(N (\leq 10^{18})\)我的，每一個人能夠投 \(A\) 或投 \(B\) 或棄權。問 \(A\) 票數多於 \(B\) 的機率。模質數 \(P (\leq 10^6)\)。
　　題解：轉化爲算平局的機率。很顯然的作法是，求 \(\sum \limits_i C_{N,i} \times C_{N-i,i}\)。但這個不太可作。
　　從生成函數角度考慮。即咱們要求 \((x^{-1}+x^0+x^1)^n\) 在 \(x^0\) 前面的係數。設 \(n=k \cdot P + r\)，因此原式化爲：
　　$ (x^{-1}+x^0+x^1)^r \times ((x^{-1}+x^0+x^1)^P)^k$
　　由 freshman's rule，\((x+y)^P=x^P+y^P\)（高維也成立），因此轉化爲求 $ (x^{-1}+x^0+x^1)^r \times (x^{-P}+x^0+x^P)^k$ 在 \(x^0\)前面的係數。由於後者的冪次必然是 \(P\) 的倍數，前者也必須是。由於 \(r<P\)，前者惟一的多是取 \(x^0\) （才能最終拼出 \(x^0\)）。並且由於 \(P\) 很小，前者 \(x^0\) 前的係數咱們能夠經過上述暴力求出。後者把內層的指數 \(P\) 改爲 \(1\)，和原問題等價，繼續遞歸拆外層的指數 \(k\) 便可。

J. Determinant of a Graph

　　題意：給出一張 \(N (\leq 10^5)\) 個點，\(M (\leq N+50)\) 條邊的連通無向圖，求其鄰接矩陣的行列式。
　　題解：有兩個基本結論：刪掉度數爲 \(1\) 的點，行列式值不變；一條鏈刪到只剩下 \(4\) 個點，行列式值不變。按照這樣的方法重構這張圖，獲得不會超過 \(500\) 個點的新圖，直接跑高斯消元便可。

Day 2: Ivan Kazmenko Contest 2

A. Circular Search

　　題意：交互題。有我的藏在\((0,0)\)~\((n,n)(n \leq 10000)\)正方形裏的某個整點裏。每次能夠給出一個圓\((x,y,r)(\leq 10^9)\)，會告訴你它在圓內仍是圓外。最多問 \(50\) 次，要求找出這我的座標。
　　題解：圓心在無限大出時，圓的邊界能夠看作是直線，則詢問變成了半平面。分別對 \(x\)軸和\(y\)軸 二分便可。

C. Edit Program

　　題意：給出兩個長度爲 \(N(\leq 10^5)\) 的 \(01\) 串。問它們的編輯距離是否能夠小於 \(N\)。若能夠，打印一種方案。
　　題解：首先這兩個串必須互爲 \(01\) 翻轉的串，不然經過修改來達到。注意到，子串裏出現 \(010\) 時必定能夠（去掉一個\(0\)，加入一個 \(1\) 便可，能夠少一步操做）。再把剩下的狀況特判掉便可。

D. Faulty Keyboard

　　題意：給出《戰爭與和平》全集的txt文本。從中隨機挑選出至少爲 \(10^5\) 字節的連續的一段，並選擇一個字母，在它每個出現的地方有 \(50\)%的機率將其刪除。給出操做後的文章段落，判斷出少了哪一個字母。
　　題解：直接統計每一種字符出現百分比是不行的（可能和部分字母集中出如今某處有關）。有一個很simple的想法：固定了一個字母后，考慮每個包含它的單詞 \(s\)。咱們枚舉這個單詞對這個字母的全部刪除方式，獲得的不一樣的串叫作 \(s'\)。若是某個 \(s'\) 不是文中的單詞，也不是其他單詞刪除後的結果，那麼一見到它，咱們就能肯定出答案了。由於合法的 \(s'\) 不少，光作這些足以經過本題。咱們只需對每個字母篩選一些 \(s'\)（隨機選擇位置，確保有些能落在給定段落裏）並打表進去。

F. Known Problem

　　題意：交互題。\(s_0\) 未知，定義 \(s_i=s_{i-1} \cdot 65539 \mod 2^{31}\)，\(x_i=s_i \mod 10^6\)。考慮有 \(N(\leq 10^8)\)個數，每一個數即爲 \(x_i\)。你要求對它們求和。第 \(i\) 次詢問時，你能夠知道 \(x_i\) 的值。
　　題解：所有問完確定會 TLE。注意到 \(s_i\) 的生成式能夠用位運算加速，因此咱們只需獲知一個 \(s_i\)，就能夠暴力推出來求和了。
　　我開始採起了一個很複雜的方法來探尋 \(s\)。離線枚舉每個可能的 \(s\)，暴力迭代直到有環，並推算出對應的 \(x\) 的數字環。設一個閾值 \(K=1000000\)，對環上每連續 \(K\) 個數字進行哈希，結果爲它開頭的 \(s\) 的數值。對於被詢問值每 \(K\) 個連續數字都哈希一下，看看是否能找到。指望詢問 \(O(K)\) 個值便可。
　　其實這裏產生 \(x_i\) 的模數很大。咱們知道 \(x_1\) 後，\(s_1\)可能的值就只有 \(1000\) 種了。而後咱們能夠根據 \(x_2\) 繼續縮小可能的 \(s\)。據稱，最多問三次便可肯定 \(s\) ……

G. K-th Bishop Covering

　　題意：有一個 \(N \times N (\leq 50)\)的棋盤，在其中放入 \(N\) 個象，使得全部格子都被（其或其攻擊範圍）覆蓋。求字典序第 \(K\) 小的放置方法。
　　題解：神題……

H. Continue the Sequence

　　題意/題解：猜是哪一種機率分佈的題。直接算出每一種機率分佈，比較哪一種更像便可……

Day 3: MIPT Contest

B. Bag of Bags

　　題意：有 \(N(\leq 3 \times 10^5)\) 個物品，每一個物品有實際大小 \(a_i\) 和容量 \(b_i\)，\(a_i<b_i\)。若物品 \(i\) 和 \(j\) 知足 \(a_i<b_j\) 且 \(a_j<b_i\)，則稱它們是合適的。依次放入這些物品，某時若是產生了矛盾（存在三個物品 \(i,j,k\) 知足 \(i\) 和 \(j\)，\(j\) 和 \(k\) 是合適的可是 \(i\) 和 \(k\) 不合適）則扔掉該物品。模擬這個過程。
　　題解：比賽時沒看出來，這其實就是「線段模型」。將物品看作線段後，要求每一團可能相交的線段都要有公共的交。而後用set維護這一塊一塊線段集便可。

C. Circle Union

　　題意：給出 \(N(\leq 10^4)\) 個圓的半徑，找一種擺放方案，使得它們有公共的交點，且面積並最大。
　　題解：威威帶帶我[可憐]。

D. Different Summands Counting

　　題意：給出 \(N(\leq 10^{18})\) 和 \(M(\leq 500)\)。對於 \(N\) 的每個劃分\(P\)： \(N=a_1+a_2+\dots+a_M\)（不要求 \(a_i\) 升序），定義 \(f(P)\) 爲 \(P\) 中不一樣的數字的出現次數。求全部劃份方案的 \(f\) 值之和模一個大質數。
　　題解：設 \(F(x)\) 表示數字 \(X\) 的總收益，由容斥得 $F(x)=\sum \limits_{i=1}^{\min (M,\lfloor \frac{N}{X} \rfloor)} (-1)^{i+1} \cdot C_M^i \cdot C_{N-iX-1}^{M-i-1} $
　　外層還要對 \(X\) 求和，顯然須要加速。由於 \(M\) 只有 \(500\)，更換求和順序可得 $ans=\sum \limits_{i=1}^M (-1)^{i+1} \cdot C_M^i \sum \limits_X C_{N-iX-1}^{M-i-1} $。把後面的組合數看作是關於 \(X\) 的 \(M-i-1\) 階多項式，則它們的和是高一階的多項式。直接插值便可。

E. Emerging Tree

　　題意：有一棵 \(N(\leq 10^6)\) 個點的有向樹，方向是從根往葉子。如今要給每一個點從新標號。按順序加入 \(N-1\) 條邊，要求任意一個時刻，每一個點能走到的點的標號是連續的。打印任意一種方案或無解。
　　題解：（from lsmll）按照加邊順序倒着刪邊。邊上維護P或者S標記表示前綴或者後綴。每次刪邊時向上找，直到到根或者要通過有標記的邊。若是到根，若是根已經有P和S，則無解，不然加一條沒有的標記。若是到一條路徑中間，則無解，不然延伸這條路徑的標記。注意已經刪除的邊以後就認爲沒有。若是有解，構造答案的話按照子樹大小搞一下。

F. Fast Travel Coloring

　　題意：給 \(7 \times N\) 個點的無向徹底圖的邊染色。顏色必須是 \([1,N]\) 的一種。染完後，要求對於任何兩個點 \((u,v)\) 和任何一種顏色 \(c\)，\(u \rightarrow v\) 只走顏色爲 \(c\) 的邊，最短距離不超過 \(2\)。
　　題解：考慮如何形式化地染色。顏色確定有某種程度上的對稱，因此咱們將點分爲 \(N\) 組（團），每組 \(7\) 個。每組表明一種顏色。
　　每組點之間的邊好辦，全連上本身組的顏色！那跨組呢？
　　對於顏色 \(i\) 組的點和顏色 \(j\) 組的點之間，沒有理由連其它顏色的邊。那究竟是連 \(i\) 仍是 \(j\) 呢？
　　回想咱們要實現的要求：對於任何兩個點 \((u,v)\)（不妨設 \(u\) 在顏色 \(i\) 組裏，\(v\) 在顏色 \(j\) 組裏）和顏色 \(c\)，必定存在一個點 \(k\)，使得 \(k\) 在顏色 \(c\) 的組裏，且\((u,k)\) 和 \((v,k)\) 的顏色都是 \(k\)。且大膽猜想，每組顏色 \((i,j)\) 間 \(7 \times 7\)的邊連法是一致的。
　　設 \(a_{x,y}=1\) 表示顏色 \(i\) 的第 \(x\) 個點和顏色 \(j\) 的第 \(y\) 個點之間連的是顏色 \(j\) 的邊，不然是顏色 \(i\) 的邊。
　　如今要嘗試構造出一種合法的矩陣 \(a\) 知足要求。顯然 \(a\) 是反對稱的，且根據要求，對於任意兩行 \((x,y)\) （\(x\) 和 \(y\) 意爲點 \(u\) 和 \(v\) 所在組的位置，固然也能夠相等），存在一個列 \(k\)，使得 \(a_{x,k}=a_{y,k}=1\)。轉化一下，即任意兩行 \(and\) 值不爲0。
　　咱們能夠經過爆搜+剪枝來搜出符合要求的矩陣。

G. Gnutella Chessmaster

　　題意：\(N \times N (\leq 10^5)\) 裏放 \(k\) 個象且互不衝突，問方案數。\(k\) 從 \(1\) 到 \(2N-1\) 循環，把每一個解模NTT質數輸出。
　　題解：抱威威大腿。

H. Halve and Merge

　　題意：給出 \(N(\leq 2 \times 10^5)\) 個數的排列和 \(M\) 個操做。操做分爲兩種：①問位置 \(p\) 的數字是什麼。②將區間 \([1,x]\) 和區間 \([x+1,N]\) 執行歸併操做，獲得的結果覆蓋原排列。注意這裏是單純套用傳統歸併操做的作法，結果顯然不必定有序。
　　題解：暴力模擬歸併操做的具體過程，對於兩個正在歸併的數列 \(A\) 和 \(B\)，不妨設 \(A_1<B_1\)。找到一個最大的 \(t\)，使得 \(A_t<B_t\)，而後將 \(A\) 的\([1,t]\) 放入結果數組，而後交替對 \(B,A\) 執行相似的操做。
　　咱們指望，若是對剪切和移動每段（固然不能是每個數）產生單位複雜度，總複雜度是科學的。
　　咱們引進一種工具block來證實這件事。將初始的 \(N\) 個數劃成一塊塊block，每一塊block知足，塊裏全部數字都不大於塊首（一旦出現，就分裂到下一個block去）。如今，咱們獲得了若干個block，且它們的首元素遞增。
　　對於一次歸併操做，它可能會劃在一個block的內部。左側依舊是完整的一塊，可是右側可能會分裂成不少小的block。考慮執行完歸併操做後的結果：這些小的block會依照它們的首元素，有序地「插入」到左邊的那些block裏面。且歸併的段數就是 \(O(新增小的block的個數)\)的。
　　自始至終，block的個數不會減小，最多爲 \(N\) （此時該排列已經有序）。因此總操做段數就是 \(O(N)\) 的。
　　咱們能夠用非旋轉treap很方便的維護序列的剪切和連接操做，總複雜度爲 \(O((N+M) \log N)\)。

I. Interpolate

　　題意：有一個函數，係數、自變量和函數值都是 \(0\) 或者 \(1\)。自變量有 \(N(\leq 2000)\) 個，記爲 \(x_1,\dots,x_N\)。係數有 \(2^N\) 個，記爲 \(a_S\)。函數表達式爲 $f(x_1,x_2,\dots,x_N)=\bigoplus \limits_{S=0}^{2^N-1} a_S \cdot \bigwedge \limits_{i \in S} x_i $。如今給出 \(M(\leq 2000)\) 組觀測結果（保證自變量取值兩兩不一樣），構造一組係數使得符合要求。輸出\(a_S\)取\(1\)的那些 \(S\)。
　　題解：表述複雜的傻逼題。對於一組 \(x_i\)，設其集合爲 \(U\)，至關於把 \(a_S (S \subseteq U)\) 給異或起來。由於自變量取值兩兩不一樣，沒有相同的 \(U\) 的觀測。因此咱們能夠把觀測結果按 \(U\) 中 \(1\) 的個數從小到大排序。每次決策一個觀測結果時，先把把全部 \(a_S (S \subset U)\) 的異或起來，若是與結果相反，再設 \(a_U\) 爲 \(1\) 便可。全程用bitset來加速。

J. Jaw-Dropping Set

　　題意：選擇 \(1\) ~ \(N(\leq 10^9)\) 中儘可能多的數使得任意兩個數都沒有整除關係。在這樣的條件下，使得總和最小。有 \(T(\leq 10^5)\) 組詢問，每次輸出最大的和。
　　題解：最大個數顯然是 \(\lfloor \frac{N+1}{2} \rfloor\) 個，只需取 $ \lfloor \frac{N+1}{2} \rfloor$ ~ \(N\) 便可。麻煩的是總和最小。
　　列出這樣一張表：第 \(i\) 行列出全部僅包含 \(2^i\) 因子的數（好比第 \(0\) 行是奇數）。每列最多選一個數（且選最底下那個必然合法）。設\(f_i\)表示第 \(i\) 列最終選了啥。能夠證實，\(f_i \geq f_{3i}+1\)，且這個下界能夠達到。

K. Kingdom Partition

　　題意&題解：最大生成樹。

Day 4: Xi Lin Contest

A. Maximum Multiple

　　題意：多組詢問。每次給出 \(N\) ，找到三個正整數 \((x,y,z)\) 使得 \(x|N,y|N,z|N,x+y+z=N\)，且 \(xyz\) 最大。
　　題解：由均值不等式，\(N\) 是 \(3\) 的倍數時顯然。當 \(N\) 是 \(4\) 的倍數但不是 \(3\) 的倍數時，能證實 \(\frac{N}{2},\frac{N}{4},\frac{N}{4}\)是最優解。打表發現其餘不存在解。

B. Balanced Sequence

　　題意：給出 \(N(\leq 10^5)\) 個括號序列。以必定的順序把它們接在一塊兒，使得造成的括號序列合法子序列的長度最長。
　　題解：一道很old的題想了好久。顯然每一個序列先匹配一下，變成形如「)))……((("的形式。事實上，以後不存在一種排序的方案，使得最優解的一種是它們順次接起來。考慮一個帥氣轉化：合法子序列的長度徹底取決於前綴最小值的大小。
　　題目轉化成，咱們要讓前綴最小值儘量的大。首先將這些二元組分紅兩部分，"("多的和")"多的。顯然，前者確定整體都在後者前面。對於前者，每次通過前綴和都會增長，因此是按')'遞增排；後者則相反。

C. Triangle Partition

　　題意：給出 \(3N\) 個點。每三個一組，使得構成的三角形沒有交。
　　題解：標算給出的作法是：每次找凸包的一條邊 \(AB\)，再找一個與其夾角最小的點 \(C\)，每次刪除 \(ABC\) 便可。
　　實際上直接按橫座標排序，依次分組便可。

D. Distinct Valies

　　題意：有 \(N(\leq 10^5)\) 個位置，每一個位置填正整數。給出 \(M(\leq 10^5)\) 個限制，要求 \([l,r]\) 這一段數字兩兩不一樣。求最小字典序方案。
　　題解：將互相包含的無效區間刪掉，區間左右端點遞增。遇到新的一段每次貪心地填最小的數字。彈出舊的一段就把那些數字都回收。這至關因而動態維護mex，線段樹便可。

E. Maximum Weighted Matching

　　題意：初始時有一條邊。有若干次操做：每次選擇一條邊 \(e=(x,y)\)，複製一份，並在中間加入 $ k (k \geq 0)$ 個點（即連上 \((x,u_1),(u_1,u_2),\dots,(u_k,y)\) 這些邊）。如今給出 \(N\) 個點，\(M\) 條邊（\(N,M \leq 10^5\)）的操做後的圖（具體操做未知）。每條邊會有一個邊權，求此圖的最大權匹配以及方案數。
　　題解：若是知道了圖是怎麼生成的，咱們能夠很方便的進行dp。設 $F_{E,u,v} $表示一段邊 \(E\)，「最左側和最右側的點是否在匹配裏」的最大匹配以及方案數。鏈上一條一條dp過去，最後獲得一些重邊再merge一下。
　　考慮最後一次添的點，度數必然都是2。咱們能夠逆着來還原這個操做：每次找到一個度數爲2的點，將其刪掉，並在它連出去的兩個點之間連上一條邊。還原的同時還能夠直接dp，直接在每一條邊上記錄\(2 \times 2\)的匹配信息。
　　有一個須要注意的地方：匹配信息是和這條邊的起點/終點相關的。要給每條無向邊定一個方向。

F. Period Sequence

　　題意：給出一個\(n=2000\)的正整數序列\(s_i (\leq 10^9)\)。定義 \(A_i=s_{i \mod n}+n \cdot \lfloor \frac{i}{n} \rfloor\)。對於一組\((l,r)\)，定義\(f(l,r)=\sum \limits_x x \cdot cnt_x^2\)，其中 \(x\) 是 \(A\) 中區間 \([l,r]\) 裏全部出現過的數字，\(cnt_x\)是它們出現的次數。
　　如今給出 \(a,b (\leq 10^{18})\)，求 \(\sum \limits_{a \leq l \leq r \leq b} f(l,r)\)。
　　題解：有一步重要的轉化。\(f(l,r)=\sum \limits_{p=l}^r \sum \limits_{q=l}^r [A_p=A_q] \times A_p\)。
　　由於要對全部的\((l,r)\)求和，一個很顯然的變換是：
　　\(\sum f(l,r)=\sum \limits_p \sum \limits_q [A_p=A_q] \times A_p \times (\min(p,q) - a+1) \times (b - \max(p,q) +1)\)。
　　注意到 \(p,q\) 會很大，而\(n \leq 2000\)。不妨設\(p=i+k_1 \times n,q=j+k_2 \times n\)。
　　咱們的思路是，枚舉 \(i\) 和 \(j\)，計算對應的貢獻。
　　列出\(A_p=A_q\)的要求，即\(s_i+k_1 \times n=s_j+k_2 \times n\)。即\(s_i-s_j\)必須是\(k_2-k_1\)的倍數。若是咱們枚舉 \(k_1\)，那麼 \(k_2\) 也就定了，不妨設其爲 \(k_2=k_1+t\) 。由 \(a \leq p,q \leq b\)，能夠求出 \(k1\) 的下界 \(L\) 和上界 \(R\)。如今，咱們再把 \(k_1\) 和 \(k_2\) 帶入上述的求和式裏，整理一下會獲得 \(\sum f(l,r)=\sum \limits_{k=L}^R c_0+c_1 k+c_2 k^2+c_3 k^3\)，\(c_i\)是常數。\(O(1)\)算一算便可。

G. Chiaki Sequence Revisited

　　題意：\(a_1=1,a_2=2,a_n=a_{n-a_{n-1}}+a_{n-1-a_{n-2}}\)。\(T(\leq 10^5)\) 組數據，求 \(\sum \limits_{i=1}^N a_i (N \leq 10^{18})\)。

　　題解：打表發現，每個正整數都會在數列裏出現，且數列是不降的。咱們記 \(f_i\) 表示數字 \(i\) 出現的次數，會發現 \(f_i\) 即爲 \(i\) 中含有的 \(2\) 的冪次加一。因此咱們先二分第 \(N\) 個數是多少，每次斷定數字 \(1\)~\(mid\) 一共會佔用多少個格子。最終的和是一個等差數列。

H. RMQ Similar Sequence

　　題意：給出一個 \(N(\leq 10^6)\) 個數字的排列 \(A_i\)。如今要生成相同長度的數組 \(B_i\)，每個數是 \([0,1]\) 的隨機實數。
　　設 \(f_p(l,r)\) 表示數組 \(p\) 中，區間 \([l,r]\) 裏最大的數的下標。若是對於全部的 \((l,r)\)，\(f_A(l,r)=f_B(l,r)\)，則稱 \(A\) 和 \(B\) 是 Similar 的。
　　若是 \(A\) 和 \(B\) 是 Similar 的，設收益爲 \(\sum B_i\)，不然收益爲 \(0\)。求指望的收益和。
　　題解：比賽裏用了帥氣的積分作法。
　　先考慮一個簡單的case：\(N\) 個獨立變量 \(x_i\) 均在 \([0,1]\) 等機率隨機，求最大值的指望。設 \(F_x\) 表示最大值 \(\leq x\) 的指望，顯然 \(F_x=x^n\)。求導後獲得機率密度函數 \(f_x=n \cdot x^{n-1}\)。那麼最大值指望就是 \(\int_0^1 x \cdot f_x \,dx=\frac{n}{n+1}\)。
　　本題中，每次對 \(A\) 的最大值分治。這樣，要求 \(B\) 的最大值也位於此，且兩側獨立了。若是是Similar的收益是 \(1\)，不然是 \(0\)，那麼指望收益就是 \(\prod \frac{1}{L}\)，\(L\) 是每次分治區間的長度 （至關於強制最大值是某個位置）。
　　要計算 \(B_i\)的和的指望，考慮繼續積分。枚舉當前的最大值 \(x\)，獲得指望和爲：\(\int_0^1 n \cdot x^{n-1} \times (g_L(x)+g_R(x)+x) \,dx\)。其中 \(g_L(x)\) 表示，若是左區間的每一個數正好都隨機在 \([0,x]\)，指望和是多少。由指望的線性性，咱們有理由相信，\(g_L(x)=x \times g_L(1)\)，這樣就能繼續劃成子問題遞歸下去了（每一段的問題都是：求解 \(g_{seg}(1)\)）。
　　其實存在更 \(simple\) 的想法。若是隻是要求 Similar 的機率，至關因而給 \(B\) 定義個大小關係的排列，使得知足樹上的拓撲序要求。這個能夠直接套一下定理算一下。而對於每一種合法的大小關係的排列，其指望和必然是 \(\frac{n}{2}\)！因此該問題就解決了……

Day 5: OpenCup Onsite, Warsaw U Contest

B. Product (8MiB ML!)

　　題意：給出 \(k (\leq 25)\) 個質數 \((p_i \leq 100)\) 和一個數 \(N (\leq 10^{18})\)。若只能用這些質數，能拼出的不超過 \(N\) 的最大的數是多少。
　　題解：看上去一副只能爆搜的樣子。注意一些有效的剪枝，好比預處理 \(f_i\) 表示 \(\leq i\) 的數中的最大可行數。若當前乘積 \(cur\) 知足 \(\frac{N}{cur} \leq K\) 時中止搜索，直接乘上 \(f_{\lfloor \frac{N}{cur} \rfloor}\) 便可。
　　實際上能夠meet in the middle。把質數儘可能均勻地分紅兩組，每組直接搜出全部能拼成的數並排序（個數不會不少）。而後兩個指針掃一掃便可。
　　注意到，這麼作是會超內存的。
　　其實有個簡單的trick能讓meet in the middle的內存從 \(O(\sqrt N)\) 降低到 \(O(\sqrt[4] N)\)。
　　對於這兩組質數，討論哪一組對答案的貢獻 \(\leq \sqrt {ans}\)。不妨設是第一組。先暴力搜第一組，一樣把能拼成的數存在來並排序。第二組在搜索的時候，不用存數字了，直接在第一組的數組裏二分找答案便可。

D. Machine Learning

　　題意：給出 \(N\) 個二維平面的點。用一條折線（只能折一次）去擬合它們，使得每一個點 \(y_i\) 到折線上的 \(y\) 的平方和最小。

F. Permutation

　　題意：求第 \(K (\leq 10^{18})\) 小的長度爲 \(N (\leq 250000)\) 的排列，知足逆序對數等於順序對數。
　　題解：預處理 \(f_{i,j}\) 表示 \(1\) ~ \(i\) 的排列中，逆序對數量 \(=j\) 的方案數。打表發現 \(i > 100\) 時， \(j < 16\) 纔有意義（不然值 \(> 10^{18}\)）。
　　逐位肯定，記錄填到如今還剩多少逆序對 \(cur\)。暴力的作法時，從小到大枚舉每個沒填過的數字 \(j\)。假設它是第 \(k\) 個被枚舉到的，填了它的方案數就是 \(f_{n-i,cur-(k-1)}\)。和目前的 \(K\) 比較一下便可。
　　根據提過的性質，當 \(n-i>100\) 時，某時若 \(f_{n-i,cur-(k-1)}\) 有值，最多枚舉 \(16\) 次必然能肯定填的數。
　　有一個須要注意的地方是，最開始枚舉的若干個數方案數可能均是 \(0\)（由於填了它後，後面的最大逆序對數量也達不到 \(cur-(k-1)\) 了）。因此要先設 \(k=max(1,cur-\frac{(n-i) \times (n-i-1)}{2}+1)\)，從第 \(k\) 小的能夠填的數開始暴力枚舉便可。
　　找第 \(k\) 小的數能夠用權值線段樹，找下一個數能夠用並查集，因此總複雜度是 \(O(N \log N+16N)\)。

G. Homework

　　題意：有 \(M\) 個長度爲 \(N\) 的字符串。第一個串給定，以後每一個串都是在前一個串的基礎上，把第 \(x_i\) 個位置修改成 \(y_i\) 上造成的。將它們按字典序排序。
　　題解：直接創建可持久化線段樹，在樹上哈希便可。

I. Addition

　　題意：設計一個小程序，要求最多有 \(k(\leq 50)\) 行，每行兩個字符串 \(a_i\)，\(b_i (len \leq 8)\)。編譯器會按照下圖的邏輯執行。讀入的 \(s (|s| \leq 100)\) 是任意的形如 \(x+y\)的字符串，\(x\) 和 \(y\) 是二進制數。要求輸出的 \(s\) 是對 \(x\) 和 \(y\) 執行二進制加法後的結果。

　　題解：抱緊lsmll學長大腿。

Day 6: Ruyi Ji Contest

A. Rikka with Linker

　　題意：給出一個 \(N(\leq 18)\) 的有向圖。要構造一個點的序列 \(s\)，知足對於任何一條邊 \((i,j)\)，序列裏最左邊的 \(i\) 右邊必須有一個 \(j\)。求最小長度。
　　題解：有點帥氣的狀壓。倒着DP，設 \(f_S\) 表示末尾已經填過 \(S\) 這個數集，且 \(S\) 裏這些數也已知足限制的最小長度。每次枚舉往前填的數字 \(i\)。若是 \(i\) 的全部出點全在 \(S\) 裏，用 \(f_S+1\) 去更新；不然用 \(f_S+2\) 去更新（意爲目前已經產生環了，先填一個 \(i\) 去知足左側數字的要求；等全部數字全填完後，在整個序列最開頭再補一個 \(i\) 來知足 \(i\) 的限制）。

B. Rikka with Proper Fractions

　　題意：給出 \(\frac{c}{d}(c<d \leq N)\)，求最簡真分數 \(\frac{a}{b} (a<b \leq N,gcd(a,b)=1)\) 的個數，知足 \(\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}\)。
　　先不考慮互質，限制能夠化爲 \(ad \leq bc (b \leq N)\)，即 \(f(N)=\sum \limits_{b=1}^N \lfloor \frac{bc}{d} \rfloor\)。
　　考慮互質的話，枚舉 \(d=gcd(a,b)\)，把 \(\mu(d) \times f(\lfloor \frac{N}{d} \rfloor)\) 加入答案便可。
　　如今考慮 \(f(N)\) 怎麼求。
　　擴展成通常性的類歐幾里得問題：求 $ \sum \limits_{i=0}^N \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor $。
　　當 \(a \geq c\) 時，能夠先把 \(\lfloor \frac{a}{c} \rfloor\) 移出來直接統計答案；\(b \geq c\) 時也相似。即：
　　\(f(a,b,c,N)=\frac{(N+1) \times N}{2} \times \lfloor \frac{a}{c} \rfloor+N \times \lfloor \frac{b}{c} \rfloor+f(a \mod c,b \mod c,c,N)\)
　　那麼如今 \(a,b<c\) 了（這麼討論能夠防止下面推導過程產生負數）。
　　設 \(M= \lfloor \frac{aN+b}{c} \rfloor\) （右端點值）。推導關鍵在於，將下取整變成求和式。
　　\(\sum \limits_{i=1}^N \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor\)
　　\(=\sum \limits_{i=1}^N \sum \limits_{j=0}^{M-1} [\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor \geq j+1]\)
　　\(=\sum \limits_{i=1}^N \sum \limits_{j=0}^{M-1} [ai \geq cj+c-b]\)
　　\(=\sum \limits_{i=1}^N \sum \limits_{j=0}^{M-1} i > \lfloor \frac{cj+c-b-1}{a} \rfloor\)
　　\(=\sum \limits_{j=0}^{M-1} (N- \lfloor \frac{cj+c-b-1}{a} \rfloor)\)
　　\(=NM-f(c,c-b-1,a,M-1)\)
　　觀察第一維和第三維，能夠發現，總複雜度和歐幾里得同樣。

C. Rikka with XOR

　　題意：給出 \(N,M(\leq 10^9)\)，求 \(\prod_{i=0}^m (n \bigoplus i)\)。對一個大質數取模。
　　題解：對 \(M\) 進行數位DP。每次某位是 \(1\) 但決策放成 \(0\) 時，由於後面部分的異或值必然是 \(0\) ~ \(2^{n-i}-1\)，因此要快速計算 \(\prod_{i=0}^{2^{n-i}-1} (x+i)\)，\(x\) 是以前得到的異或和。這本質就是求兩個階乘。階乘是經典的不可求問題（不考慮構造多項式的作法），分段打表便可。

E. Rikka with Equation

　　題意：給出 \(N(10^9)\)，求合法三元組 \((a,b,m)(0 \leq a,b < m)\) 的個數，知足至少存在一組 \(x\) 和 \(y\)，使得 \(x^2+y^2=a(\mod m)\) 且 \(xy=b(\mod m)\)。
　　題解：設 \(f(x)\) 爲 \(m=x\) 時的個數。發現 \(f\) 是積性函數，因此咱們只考慮 \(p^k\)。
　　當 \(p\) 是奇數時，轉化爲考慮三元組 \((a+2b,a-2b,m)\) （顯然一一對應）。
　　在模意義下，方程必然有解，因此二者獨立。咱們只要保證它們存在二次剩餘便可。
　　再轉化爲求 \(m\) 下二次剩餘的個數，答案就是個數的平方。
　　從 這個博客 可能能夠得到啓發。個數爲 \(\sum_{2i \leq k} \frac{\phi(p^{k-2i})}{2}\)。
　　題解說，\(p=2\) 時存在線性遞推。（其實應該有很顯然的規律）

F. Rikka with Lines

　　題意：給出一個矩陣\((x1,x2,y1,y2)(|x2| \leq 10^9,|y2| \leq 10^{18})\) 和 \(N(\leq 10^5)\) 條直線 \(a_i x+b_i(a_i \leq 10^9,b_i \leq 10^18)\)。求二元組 \((i,j)\) 對數，使得直線 \(i\) 和直線 \(j\) 有交，且交在矩陣裏面或邊界。
　　題解：剔除全部與矩陣沒有交的直線。通常地，直線會與矩形有兩個交點。若是 \(i\) 和 \(j\) 交在內部，則它們與矩陣的交點是交錯的。因此這就變成了一個二維數點的問題。把交點離散化後，掃描線+樹狀數組便可。注意特判只有一個交點的直線。
　　此題卡精度，必須用分數類。得到新姿式：分數類不用記錄正負號，只要把負號放在分子裏，比較大小時直接分母乘一下比較便可。

G. Rikka with Bridges

　　題意：多組數據。對於一張無向圖，稱三元組 \((i,j,k)(i < j)\) 是 \(bridge\)，當期僅當 \((i,k),(j,k)\) 有邊，但 \((i,j)\) 無邊。求點數爲 \(N(\leq 1000)\)，\(bridge\)個數不超過 \(K(\leq 8)\)的無向圖個數。
　　題解：打表能夠發現，若是一張 \(N\) 個點的連通圖不是團，它至少有 \(N-2\) 個橋。
　　證實：概括法。若一張連通圖至少有一組橋 \((i,j,k)\)，加入一個新點 \(t\) 後，橋的個數至少 \(+1\)。考慮和 \(t\) 連邊的點 \(u\)：要不 \(u\) 是中轉點，要不 \(t\) 和全部點都有邊，此時 \(t\) 是中轉點（橋 \((i,j,t)\)造成）。
　　因此對於圖中的每一個連通塊，若是點數 \(\geq 10\)，必然是個團。那麼咱們能夠先爆搜出 \(p(p \leq 10)\) 個點，\(q\) 個橋的連通圖的個數。而後把整張圖DP起來。
　　爆搜時注意用位運算來壓掉一個 \(n\)。要跑很久。

J. Rikka with String

　　題意：給出一個長度爲 \(N(\leq 10^5)\) 、字符集爲 \(12\) 的字符串。對於每個後綴都要詢問：在字符全部雙射的方案構成的 \(12!\) 種串中，是否存在一個串，使得它在這個串裏是後綴最大的。
　　題解：考慮 \(N^2\) 暴力。詢問 \(i\) 時，枚舉後綴 \(j\)，設 \(k=lcp(s_i,s_j)\)，有個要求是：\(s_{i+k}>s_{j+k}\)。考慮一張 \(12\) 個點的拓撲圖，那麼咱們從 \(s_{i+k}\) 向 \(s_{j+k}\) 連一條邊，意爲前者要大於後者。最後獲得的圖若是沒有環，必然有一種拓撲序列，就必然有解。
　　如今的問題是，如何獲得每個後綴的圖。考慮創建後綴樹，一個後綴的全部限制，產生在它到根路徑上的全部分叉上。因此從根開始DFS，維護一張圖表示從根到目前的點 \(x\) 得到的限制。能夠用位運算加速，這樣只需維護 \(12\) 個數。不過最後找環是 \(12^2\) 的，因此複雜度就是 \(O(144N)\)。

Day 7: Izhevsk STU + Ufa SATU Contest

A.Equal Digits

　　題意：給出一個長度爲 \(N(\leq 10^5)\) 的數字串。如今要選擇一些不相交的區間把它們刪去，使得剩下的串每種數字最多出現一次。每一個選擇區間的長度必須大於 \(1\)，且必須首字符和尾字符相等。只要刪除位置的集合不一樣，就算不一樣的方案。求方案數模大質數後的值。
　　題解：設 \(f_{i,S}\) 表示考慮前 \(i\) 位，剩下的數字集合是 \(S\) 的方案數。轉移的話，要不留下這個數，從 \(i-1\) 處轉移；要不刪除這個數，枚舉一個 $j<i，從 \(f_{j,?}\)裏轉移過來。注意要求 \(a_i=a_j\)，因此能夠對數字創建一個輔助DP，就不須要每次枚舉 \(j\) 了。

B.Remove the Tree

　　題意：給出一棵 \(N\) 個點的樹。每次能夠選擇兩個連通的點 \(u\) 和 \(v\)，把它們路徑上的邊都刪掉。求最小的刪的次數，使得全部邊都被刪掉。
　　題解：考慮直接 DP。設 \(f_i\) 表示到點 \(i\) 子樹內部分配完刪邊方案的最小值，\(g_i\) 表示還有向上的一條鏈的最小值，轉移便可。

D.Road Connectivity

　　題意：給出一張 \(N(\leq 5)\) 個點的無向圖，表示時刻 \(T=0\) 的連通訊息。每過一單位時間，隨機一條邊，將其存在性翻轉。有 \(1000\) 組詢問，每次給出 \((L,R) (L \leq R \leq 10^{18})\)，詢問 \(L\)~\(R\) 中至少有一個時刻圖是連通的機率。答案對大質數取模。
　　題解：容斥後是求全不連通的機率。作法分爲兩個步驟：求出到時刻 \(L\) 時不連通的機率；求出從時刻 \(L\) ~ \(R\) 一直不連通的機率。
　　設 \(M=\frac{N \times (N-11)}{2}=10\)，因此邊集狀態是 \(S=2^{10}=1000\)。打表發現，其中不連通圖個數 \(K=296\) 種。
　　對於第一問，直接矩乘複雜度是 \(O(S^3 \log R+Q \times S^2 \log R)\)，顯然會 \(TLE\)。其實咱們能夠直接枚舉 \(L\) 時刻的一種不連通的狀態 \(U\)，強行算它出現的機率。對於這 \(M\) 條邊，有些邊存在性和 \(T=0\) 時相同，有些相反。咱們能夠設 \(f_{i,j}\) 表示：到時刻 \(i\)，有 \(j\) 條邊存在性和初始圖不一樣的機率。由於 \(j \leq 10\)，直接對 \(i\) 矩乘便可。那麼對於這種邊集狀態 \(U\)，如有 \(e\) 條邊和初始時相反，它出現的機率就是 \(f_{L,e} \times C_{M,e}\)。這樣，第一步咱們在 \(O(10^3 \log R+ Q(10^2 \log R+K))\) 時間內解決。
　　對於第二問就不能這麼優化了，由於咱們要保證中途經歷的圖都是 \(K\) 種之一的。此時考慮壓縮矩陣的大小。雖然不連通的有 \(K\) 種，可是本質不一樣的只有 \(13\) 種。因此就把矩陣大小壓成 \(13\) 了。這一步複雜度是 \(O(13^3 \log R+Q \cdot 13^2 \log R)\)。

E. Binary String

　　題意：有一個長度爲 \(N(\leq 1000)\) 的 \(01\) 串未知，要交互探知。每次能夠詢問 \((L,R)\)，有50%的機率返回 \(L\)~\(R\) 之間的 \(1\) 的個數；還有50%的機率等機率返回 \([0,R-L+1]\) 中非正確答案的數值。一樣的區間最多隻能問一次。要在 \(60000\) 步以內得到該串。
　　題解：考慮 \(501\)~\(1000\) 怎麼肯定，反之亦然。咱們的目的是，嚴格肯定出 \(sum_{1-500},sum_{1-501},sum_{1-502},\dots\) 這些區間的和，這樣答案也就出來了。首先是 \(sum_{1,500}\)。作法很簡單，咱們不只能夠問 \((1,500)\)，還能夠問 \((1,x)\) 和 \((x+1,500)\)，把二者加起來便可。問足夠屢次後，找到出現次數最多的數字，其必然就是 \(sum_{1,500}\) 。日後考慮 \(sum\) 時，就沒必要刺探這麼屢次了，由於 \(sum_{1,i-1} \leq sum_{1,i} \leq sum_{1,i-1}+1\)，全部不在這個區間裏的值必然是錯的，直接無視。

G. Token and Dice

　　題意：你想從 \((x,y)(|x|,|y| \leq 10^9\) 走到 \((0,0)\)，每次只能走整數座標。初始時你有一顆六面都是 \(1\) 的骰子。每輪，交互器先給你一個新骰子（六面都是 \(1\)~\(10000\)的隨機數），你能夠選擇是收下或者扔掉；而後交互器會把你的全部骰子都丟一遍，把朝上的數字之和 \(s\) 給你。以後你必須從原來的位置 \((x_0,y_0)\) 走到新的位置 \((x_1,y_1)\)，知足 \(\lfloor \sqrt {(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2} \rfloor=s\) 或 \(\lceil \sqrt {(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2} \rceil=s\)。要求在 \(60000\) 輪內走到 \((0,0)\)。
　　題解：發現 \(s\) 是不可控的，因此保留的骰子數量 \(K\) 必定不多，這樣全部可能的 \(s\) 咱們都能掌握。
　　大體想法是這樣的：設 \(R\) 是可能的最大的 \(s\)。以原點爲圓心畫一個半徑爲 \(R\) 的圓。當離 \((0,0)\) 遠的時候，直接往原點方向走便可；而一旦走到了圓上，不管下一步 \(s\) 是什麼，咱們都要keep在圓上（由於 \(R\) 是最大的 \(s\) ，任何 \(s\) 都能找到一條合法的弦走過去）。這樣，只要某次擲出 \(R\)，咱們就能走回 \((0,0)\) 了。
　　細節仍是挺多的。走到原點附近的指望步數是 \(\frac{10^9 \cdot \sqrt 2}{6sum_i}\)，因此骰子的數字和要儘量的大；最後擲出 \(R\) 的機率是 \(\frac{1}{6^K}\)，因此骰子個數要儘量的小。爲此，我設了參數 \(K=4\) （指望幾千步就能取到 \(R\)）。而後爲了使和儘可能大，先扔 \(5000\) 次骰子，把每次 \(sum \geq 47500\) 的骰子保留（實測大概會有 \(10+\) 個，因此保留 \(4\) 個綽綽有餘）。這樣基本不會超過步數限制。
　　還有一個很頭疼的問題是，必需要整數座標。好比在圓上繞圈圈時，找到符合要求的整點很頭疼。每次我是先拿 \((0,0,R+0.5)\) 和 \((x,y,s)\) 作一遍圓交，交點 \(p\) 默認是最優參考點。而後我把 \(p\) 附近的一塊矩陣拿出來，把其中的整點都納爲考慮對象。最優的點是 \((R-1)^2 < x^2+y^2 < (R+1)^2\) （能一步到原點），若是沒有，咱們就取儘可能靠近這個範圍的點便可。

Day 8: Grand Prix of Zhejiang, Yuhao Du Contest 5

B.Border

　　題意：給出一個長度爲 \(N(\leq 10^6)\) 的 \(01\) 串 \(S\)。對於一個區間 \((l,r)\)，定義 \(f_{i,j}=max(k | 0 \leq k \leq j-i,S[i..i+k-1]=S[j-k+1..j])\)。
　　要求全部 \(f(l,r)\) 的和。讀入 \(seed\)，\(S\) 是按如下方式生成的。

　　題解：因爲數據是隨機生成的，能夠認爲，最大的答案 \(K \leq 45\)。枚舉起點 \(i\)，反着統計：對於一個串 \([i,i+k-1]\)，統計它會對哪些 \(j\) 產生貢獻。假設咱們簡單地統計一下 \([i..n]\) 中該串的出現次數，設爲 \(f_k\)。注意這個 \(f_k\) 不是真正 \(k\) 的貢獻，由於可能會重複統計。對於兩個串 \([i,i+k1-1],[i,i+k2-1](k1<k2)\)，若是前者是後者的子串，前者就會重複統計。因此咱們能夠再倒着枚舉 \(k\)，\(g_k=f_k-\sum \limits_{j=k+1}^K [S_k \in S_j] \cdot g_j\)。
　　對於求 \(f_k\)，咱們能夠倒着枚舉 \(i\)，倒着日後綴自動機裏添加點。詢問時，從 \(K\) 開始倒着循環，實時維護目前區間所在的點，每次彈出當前區間的第一個位置的字符。計算 \(g_k\) 時能夠用 kmp 來計算。總複雜度是 \(O(N(K+k^2)\)，\(K\) 是最大可能答案，\(k(\approx 17)\) 是不一樣的 \(i\) 的平均最大答案。

C.Convolution

　　題意：給出兩個長度爲 \(N(\leq 2 \cdot 10^5)\)的數組 \(a\) 和 \(b\)，設 \(c_k=\sum \limits_{i=0}^k \binom{k}{i} a_ib_{k-i} \mod 2^{32}\)。輸出 \(c\) 數組。
　　題解：簡單化一化，設 \(A_i=\frac{a_i}{i!}\)，對 \(A\) 和 \(B\) 做卷積。可是 \(i!\) 裏包含 \(2\) 的冪次，不能簡單地求逆元。
　　顯然要把 \(2\) 的因子分開。經典結論： \(k!\) 裏 \(2\) 的因子正好有 \(k-bit(k)\) 個。
　　設 \(p_i\) 是 \(i!\) 裏除掉全部 \(2\) 的因子後的結果。因此 \(c_k=k! \sum \limits_{i=0}^k \frac{a_i}{i!} \frac{b_{k-i}}{(k-i)!}=\frac{p_k}{2^{bit(k)}} \sum \limits_{i=0}^k \frac{a_i \cdot 2^{bit(i)}}{p_i} \frac{b_{k-i} \cdot 2^{bit(k-i)}}{p_{k-i}}\)。
　　咱們能夠把 \(A_i\) 當作兩個數值 \(\frac{a_i}{p_i}\) 和 \(bit(i)\) 的合成。對其作（權值分段的） \(FFT\) 便可，隨後把答案除掉 \(2^{bit(k)}\) 便可。數值會達到 \(2^{32} \cdot 2^{17} \cdot 200000\)，爲防止超過 \(LL\)，能夠對 \(2^{50}\) 取模。

L.Link Cut Digraph

　　題意：有一張 \(N(\leq 10^5)\) 個點和 \(M(\leq 2.5 \times 10^5)\) 的有向圖。依次往圖裏加邊，每加一條，詢問目前圖中有多少點對 \((u,v)\)，知足 \((u,v)\) 能夠互相到達。
　　題解：本質上就是要實時維護強連通份量。可是這是論文題，不可作。
　　其實有一個精妙的總體二分作法。設 \(solve(l,r,E)\) 表示正在作時間軸上的 \((l,r)\) 區間，目前等效邊集是 \(E\)。設 \(mid=\frac{l+r}{2}\)，先把 \(E\) 中全部出現時間 \(\leq mid\) 的邊拎出來，跑一遍 tarjan。而後思考：對於一條在強連通份量裏的邊，它對於 \([mid+1,r]\) 是無效的（咱們只需把這些點縮起來好了）；同理，對於一條不在SCC裏的邊，它對 \([l,mid]\) 是無效的（由於加入了 \([l,mid]\) 全部邊，都沒有造成環，刪了一些邊後確定也沒有）。因此 \(E\) 能夠劃成兩個不交的集合。這樣複雜度就變成了 \(O(M \log N)\)。

Day 9: Mixed Contest

B.Bingo

　　題意：給出 \(N \times M(N,M \leq 110)\) 的格子圖。要在裏面選出 \(M\) 個格子，每列正好選一個。要求選的最多的行和選的最少的行的差儘可能小。知足這個條件下，使選取的格子上的數字的最大值儘可能小。
　　題解：判一下便可肯定最小的差是多少。而後二分一下跑上下界網絡流便可。

C. Communication Between Robots

　　題意：有 \(200\) 組數據。給出 \(N(\leq 16)\) 個二維座標的點，起點位置爲 \((x0_i,y0_i) (|x| \leq 10^6)\)，單位時間的速度向量是 \((vx_i,vy_i)(|v| \leq 1000)\)。問 \(0\)~\(T(\leq 1000)\) 時間裏，這些點之間的最小生成樹最小是多少。
　　題解：相似一道TC經典題。任意兩點間的距離形如 \(\sqrt{At^2+Bt+C}\)。兩兩枚舉這 \(N^2\) 個距離，求出它們的交點 \(t\) 並設爲關鍵點。容易發現，當 \(t\) 處於關鍵點之間的一段時，邊的大小關係是肯定的，因此最小生成樹上的邊也是肯定的。咱們只需對這些函數的和在 \([t_i,t_{i+1}]\) 中求個最小值。
　　凸函數之和仍然是凸函數。

D. Doublindromes

　　題意：稱一個串 \(s\) 是 \(doublindrome\) 的，當且僅當它是個迴文串，且它能夠拆成兩個非空迴文串 \(a\) 和 \(b\) 的和。給出一個長度爲 \(N(\leq 10000)\) 的串，求它全部長度 \(\geq k\) 的 本質不一樣的 \(doublindrome\) 的子串的個數。
　　題解：本質不一樣的迴文串個數是 \(O(N)\) 的，因此咱們能夠用 \(manacher\) 暴力找到全部迴文串。如何判它是 \(doublindrome\) 的呢？猜想它必定有一個循環節，即 \(s=xx \dots x\)。因此直接對其跑一遍 \(kmp\) 便可。

F. Form the Maximal Set

　　題意：一個圓的圓周上均勻刻着 \(1\) ~ \(N(\leq 8000)\) 這 \(N\) 個數字。給出 \(\frac{N}{2}\) 條線段，分別鏈接兩個不一樣的點。找到儘量多的線段集合，使得它們兩兩都有交。求最大集合的大小。
　　題解：先固定一條線段 \(l_0\)。假設先有一條線段 \(l_1\) 與其有交。接下來與它們都有交的直線 \(l_2\) 兩側的端點知足必定的單調性。若是咱們把 \(l_0\) 一側的點的從新標號爲 \(1,2,\dots\)，另外一側必須取出一個逆序的序列才能符合要求。因此此題就轉化成了 \(LIS\)。

H. Hokusai Artworks

　　題意：給出一張 \(N\) 個點 \(M(\leq 10^5)\) 條邊的有向圖，每一個點有個點權。從 \(1\) 出發，每奇數次到的點都能得到它的點權（能夠重複通過點，但不能重複得到點權），能夠在任意點結束。問最大收益。
　　題解：首先先縮環成點，必定是按照拓撲序走過去的。對於一個SCC，若是它至少存在一個奇環，全部點都能取到；不然要奇偶染色，只能取某種奇偶性的點權。不妨設 \(come_{x,0/1}\) 表示從以前的SCC在奇數/偶數步進入點 \(x\) 時，以前能得到的最大收益。設 \(go_{x,0/1}\) 表示環裏走完後，在奇數/偶數步從 \(x\) 出去的最大收益。根據是否有奇環分狀況轉移便可。