狀壓DP（超詳細！！！）

1、定義

總述

狀態壓縮動態規劃，就是咱們俗稱的狀壓DP，是利用計算機二進制的性質來描述狀態的一種DP方式。

不少棋盤問題都運用到了狀壓，同時，狀壓也很常常和BFS及DP連用。

狀壓dp其實就是將狀態壓縮成2進制來保存 其特徵就是看起來有點像搜索，每一個格子的狀態只有1或0 ，是另外一類很是典型的動態規劃

舉個例子：有一個大小爲n*n的農田，咱們能夠在任意處種田，如今來描述一下某一行的某種狀態：

設n = 9；

有二進制數 100011011（九位），每一位表示該農田是否被佔用，1表示用了，0表示沒用，這樣一種狀態就被咱們表示出來了：見下表

因此咱們最多隻須要 2^（n + 1） - 1的十進制數就好（二進制形式是n個1） 如今咱們有了表示狀態的方法，但內心也會有些不安:上面用十進制表示二進制的數，枚舉了所有的狀態，DP起來複雜度豈不是很大？沒錯，狀壓實際上是一種很暴力的算法，由於他須要遍歷每一個狀態，因此將會出現2^n的狀況數量，不過這並不表明這種方法不適用：一些題目能夠依照題意，排除不合法的方案，使一行的總方案數大大減小從而減小枚舉

爲了更好的理解狀壓dp，首先介紹位運算相關的知識。

1. ’&’符號，x&y，會將兩個十進制數在二進制下進行與運算(都1爲1，其他爲0） 而後返回其十進制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。
2. ’|’符號，x|y，會將兩個十進制數在二進制下進行或運算（都0爲0，其他爲1） 而後返回其十進制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。
3. ’^’符號，x^y，會將兩個十進制數在二進制下進行異或運算（不一樣爲1，其他 爲0）而後返回其十進制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。
4. ’~’符號，~x，按位取反。例如~101=010。
5. ’<<’符號，左移操做，x<<2，將x在二進制下的每一位向左移動兩位，最右邊用0填充，x<<2至關於讓x乘以4。 ’>>’符號，是右移操做，x>>1至關於給x/2，去掉x二進制下的最右一位

1.判斷一個數字x二進制下第i位是否是等於1。（最低第1位）

方法：if(((1<<(i−1))&x)>0) 將1左移i-1位，至關於製造了一個只有第i位 上是1，其餘位上都是0的二進制數。而後與x作與運算，若是結果>0， 說明x第i位上是1，反之則是0。

2.將一個數字x二進制下第i位更改爲1。

方法：x=x|(1<<(i−1)) 證實方法與1相似。

3.將一個數字x二進制下第i位更改爲0。

方法：x=x&~(1<<(i−1))

4.把一個數字二進制下最靠右的第一個1去掉。

方法：x=x&(x−1)

2、典型例題

【例題1】騎士(P1896 [SCOI2005]互不侵犯)

題目描述

在 n×n(1<=n<=10) 的棋盤上放 k(0<=k<n×n)個國王，國王可攻擊相鄰的 8 個格子，求使它們沒法互相攻擊的方案總數。

輸入格式

輸入有多組方案，每組數據只有一行，包含兩個整數 n 和 k。

輸出格式

每組數據一行爲方案總數，若不可以放置則輸出 0。

輸入樣例

3 2

4 4

樣例輸出

16

79

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實際狀壓dp顧名思義，就是採用位運算，來記錄更多的必須記錄的狀態來作dp有了比較深的dp功底後只要對位運算有了解就能夠解決問題。。。

考慮到每行每列之間都有互相的約束關係。所以，咱們能夠用行和列做爲另外一個狀態的部分。用一個新的方法表示行和列的狀態：數字。考慮任何一個十進制數均可以轉化成一個二進制數，而一行的狀態就能夠表示成這樣——例如：1010(2)

就表示：這一行的第一個格子沒有國王，第二個格子放了國王，第三個格子沒有放國王，第四個格子放了國王。而這個二進制下的數就能夠轉化成十進制： 10(10)

因而，咱們的三個狀態就有了：第幾行（用i表示）、此行放什麼狀態（用j表示）、包括這一行已經使用了的國王數（用s表示）。

考慮狀態轉移方程。咱們預先處理出每個狀態（s[x]）其中包含二進制下1的個數，及此狀態下這一行放的國王個數（num[x]），因而就有：

f[i][j][s]=sum(f[i−1][k][s−num[j]])，f[i][j][s]就表示在只考慮前i行時，在前i行（包括第i行）有且僅有s個國王，且第i行國王的狀況是編號爲j的狀態時狀況的總數。而k就表明第i-1行的國王狀況的狀態編號

 

【例題2】牧場的安排(P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields)

Farmer John 新買了一塊長方形的牧場，這塊牧場被劃分紅 M列 N 行  (1≤M≤12;1≤N≤12)，每一格都是一塊正方形的土地。FJ 打算在牧場上的某幾格土地裏種上美味的草，供他的奶牛們享用。遺憾的是，有些土地至關的貧瘠，不能用來放牧。而且，奶牛們喜歡獨佔一塊草地，因而 FJ 不會選擇兩塊相鄰的土地，即：沒有哪兩塊草地有公共邊。固然，FJ 尚未決定在哪些土地上種草。 做爲一個好奇的農場主，FJ 想知道，若是不考慮草地的總塊數，那麼，一共有多少種種植方案可供他選擇。固然，把新的牧場荒廢，不在任何土地上種草，也算一種方案。請你幫 FJ 算一下這個總方案數。

輸入格式

第 1行：兩個正整數 M 和 N，用空格隔開；第 2到 M+1行：每行包含 N 個用空格隔開的整數，描述了每塊土地的狀態。輸入的第 i+1行描述了第 i行的土地。全部整數均爲 0 或 1，1 表示這塊土地足夠肥沃，0 則表示這塊地上不適合種草。

輸出格式

第 1 行：輸出一個整數，即牧場分配總方案數除以 10^8的餘數。

樣例輸入

2 3

1 1 1

0 1 0

樣例輸出

9

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 題目大意

給N*M的棋盤，每一個格子不是0就是1,1表明能夠種草，不然不能。相鄰兩個格子不能同時種草，求種草的方案總數。

思路

狀態壓縮類動態規劃，狀壓dp通常會有明顯的數據範圍特徵，即n,m通常都在20之內。可將每一排的N個當作一個N位二進制，先預處理出每一行能夠運行的狀態，這樣能夠去掉不少無效狀態（如110），而後DP處理，枚舉當前有效狀態和上一行有效狀態的關係。

f[i][j] 表示第i行在狀態j的時候的方案數，其中j咱們用一個二進制數來表示。

轉移的時候只要判斷與當前行和上一行是否衝突便可，若是不衝突，分f[i][j]=∑f[i−1][k]其中k爲不衝突的狀態。Ans=∑1≤i≤numf[n][i] 就是最後的答案（num爲狀態總數）。

初始條件：f[1][i]=1 (1<=i<=a[1].num).