計算機組成原理筆記——數制（Number Systems）

十進制系統

十進制系統即The Decimal System

在平常生活中，咱們天天都在使用逢十進一的數位（0、一、二、三、四、五、六、七、八、9）來表示數字，這種數制叫作十進制。
考察數字83的意義，能夠表示成：
83 = (8 × 10) + 3
即八個10再加上一個3；
考察數字4728的意義，能夠表示成：
4728 = (4 × 1000) + (7 × 100) + (2 × 10) + 8
即四個1000加上七個100再加上兩個10再加上一個8。

從上得知，咱們能夠說，十進制的基數（base/radix）爲10。也即，十進制數是由每一個數位的數字乘以10的n次冪，n與數位的位置相關。例如：
83 = (8 × 10¹) + (3 × 10⁰)
83是由兩個數位構成，最左邊的數位爲最高（有效）數位，這裏是8；最右邊的數位是最低（有效）數位，這裏是3。最低數位的位置所對應的10的冪爲0，從右往左依次加一。即，數位3爲最低數位，故其10的冪爲0，表示爲3×10⁰；往左移動一位，數位爲8，其10的冪爲1，表示爲8×10¹，將全部數位相加獲得的和即該十進制數，也即，8×10¹+ 3×10⁰= 83
使用一樣的方法拆解數字4728，表示以下：
4728 = (4 × 10³) + (7 × 10²) + (2 × 10¹) + (8 × 0²)

咱們使用一樣的方法表示小數部分，只不太小數部分數位的10的冪爲負數。其最大的數位的10的冪爲-1，從左向右其數位的10的冪依次減1。例如：
0.256 = (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

在一個既有整數部分又有小數部分的十進制數中，其數位的10的冪也既有正數又有負數：
442.256 = (4 × 10²) + (4 × 10¹) + (2 × 10⁰) + (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

使用表格表示上述數字的數位位置和其10的冪的關係：

4	7	2	2	5	6
百位	十位	個位	十分位	百分位	千分位
102	101	100	10-1	10-2	10-3
position 2	position 1	position 0	position -1	position -2	position -3

通常的，十進制數使用X來表示：
$$X = \{...d_2d_1d_0d_{-1}d_{-2}d_{-3}...\}$$
X的值爲：
$$X=\sum_{i}(d_i×10^i)$$

按位計數系統

按位計數系統即Positional Number Systems

十進制系統是按位計數系統的一種。
在一個按位計數系統中，每一個數字（Number）的數位（Digit）的位置使用i表示，數位的權用rⁱ表示。其中，r爲數字的基數（base/radix）。

通常的，在該系統中，一個數字可表示爲：
$$(...a_3a_2a_1a_0a_{-1}a_{-2}a_{-3}...)_r$$
其中，每個數位a_i都是一個整數，且0≤a_i≤r

該數字的值爲：

$$ ... + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 + a_{-1}r^{-1} + a_{-2}r^{-2} + a_{-3}r^{-3} + ... = \sum_i(a_i × r^i) $$

二進制系統

二進制系統即The Binary System

在十進制系統中，每一個數位有十個數能夠表示，即0~9。在二進制系統中，每一個數位只有0或者1這兩個數來表示。
爲了不在表達過程當中引發的數制概念混亂，咱們給每一個數字加上數制下標。例如，十進制數83和4728，咱們使用83₁₀和4728₁₀表示。

二進制數中的1和0在十進制中的意義相同：
0₂ = 0₁₀
1₂ = 1₁₀

若是要使用二進制數字表示十進制數字中更大的數字（>2），明顯的，在二進制中則須要進位了：

$$ 10_2 = (1 × 2^1) + (0 × 2^0) = 2_{10} \\ 11_2 = (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 3_{10} \\ 100_2 = (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0) = 4_{10} $$

小數部分依然使用10的負次冪表示，這裏再也不舉例。
通常的，使用二進制表示數字：

$$ Y = \{...b_2b_1b_0b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\} $$

則Y的值爲：

$$ Y = \sum_i(b_i × 2^i) $$

二進制和十進制的轉換

將二進制數轉換爲十進制數很是容易，上述的筆記中已經有不少例子。

而要將十進制數字轉換爲二進制數字，整數部分和小數部分則須要分開處理。

整數部分

如上述筆記所敘，在二進制中，整數部分可表示爲：

$$ b_{m-1}b_{m-2}...b_2b_1b_0\quad(b_i=0或1) $$

該數字的值爲：

$$ (b_{m-1} × 2^{m-1}) + (b_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (b_1 × 2^1) + b_0 $$

假設咱們須要將十進制的整數N轉換爲二進制，能夠將N除以2，將獲得一個商N₁和餘數R₀，記爲：

$$ N = 2 × N_1 + R_0\quad(R_0=0或1) $$

接着，咱們將商N₁繼續除以2。令其新的商記爲N₂，新的餘數記爲R₁，則：

$$ N_1 = 2 × N_2 + R_1\quad(R_1=0或1) $$

那麼有：

$$ N = 2(2N_2 + R_1) + R_0 = (N_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

咱們能夠將獲得的商繼續往下除以2，因爲N > N₁ > N₂...，最終會獲得商：N_m-1 = 1（0₁₀和1₁₀除外）以及餘數R_m-2 = 0或1，那麼咱們能夠獲得：

$$ N = (1 × 2^{m-1}) + (R_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (R_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

即N的二進制形式。
所以，將十進制數的整數部分轉換爲二進制數，只需將數字不斷除以2便可，將獲得的餘數（非0即1）逆序排列，就獲得了二進制的整數部分。

例1：將11₁₀轉換爲二進制。
解：

例2：將21₁₀轉換爲二進制。
解：

小數部分

如上述筆記所敘，在二進制中，整數部分可表示爲：

$$ b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\quad(b_i=0或1) $$

該數字的值爲：

$$ (b_{-1} × 2^{-1}) + (b_{-2} × 2^{-2}) + (b_{-3} × 2^{-3})... $$

也能夠記爲：

$$ 2_{-1} × (b_{-1} × 2^{-1} × (b_{-2} × 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

上一個表達式正好提供了一個轉換的思路。假設咱們要將數字F(0＜F＜1)由十進制轉換爲二進制。由上可知，數字F能夠表示爲：

$$ F = 2^{-1} × (b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

等式兩邊同乘以2得：

$$ 2F = b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

因爲0＜F＜1，顯然的，2F的整數部分b_-1∈{0, 1}。咱們將剩餘的小數部分記爲F₁，且0＜F₁＜1，可得：

$$ F_1 = 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

爲了求b_-1，咱們可重複上述步驟。以此類推，小數部分的轉換算法即將小數不斷乘以2便可。算法中每一步的被乘數都是上一步的積的小數部分，且積的整數部分必定是0或1，其構成之正序序列即二進制的小數部分。然而，這個算法是不精確的，由於該算法的精確中止條件是直到積的小數部分等於0爲止，而有時該算法可能會一直循環下去。所以，咱們須要另外一箇中止條件：將算法運行到咱們所須要的必定精度便可。

例1：將0.81₁₀轉換爲二進制。
解：

例2：將0.25₁₀轉換爲二進制。
解：