字符串匹配 - KMP算法

首先大體的學習一下有限自動機字符匹配算法，而後在討論KMP算法。

有限自動機

一個有限自動機M是一個五元組(Q,q₀,A,Σ,δ),其中：

• Q是狀態的集合，
• q₀∈Q是初始狀態，
• A是Q的字集，是一個接受狀態集合，
• Σ是一個有限的輸入字母表，
• δ是一個從Q×Σ到Q的函數，叫作轉移函數。

下面定義幾個相關函數：

• φ(w)是M在掃描字符串w後終止時的狀態。函數φ有下列遞歸關係定義：φ(ε) = q₀，φ(wa) = δ(φ(w),a)，
• σ(x)是x的後綴中，關於P的最長前綴的長度。

字符串匹配自動機

來回顧一下樸素算法。給定下面兩個字符串，模式串P，和匹配串T。

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	a	b	a	b	a	c	a
T	a	b	a	b	a	b	a	c	a	b	a

當第一次匹配時，i=0，可是掃描到i=5的時候，字符串不在匹配。此時另i=1，從新匹配。這就是樸素算法須要改進的地方。當i=5的時候，觀察表格發現P[0...3]=T[2...5]，此時若是可以匹配T[5+1]和P[3+1]就不須要從i=2開始掃描了，效率就大大的提高了，這樣匹配的時間複雜度就只有O(n)了。這裏P[0...3]叫作P的前綴，T[2...5]叫作T₅的後綴。此時σ(T₅) = 3。這樣在自動機的操做中，若是每次狀態轉移都可以保證：

　　　　　　　　φ(T_i)=σ(T_i)

那麼就能夠保證最終的正確匹配。下面來作簡單的推理：

根據φ(x)的定義，有φ(T_ia) = δ(φ(T_i),a)，其中a爲任意字母；

由φ(T_i)=σ(T_i)，能夠獲得φ(T_ia)=σ(T_ia) = q，即φ(T_ia)=σ(P_qa)；

綜上，δ(φ(T_i),a)=σ(P_qa),，能夠獲得一個狀態轉移函數δ(q,a)=σ(P_qa)。這樣就能夠作出一個正確的狀態轉移圖，而後就能夠匹配字符串了。

用文字來描述一下：在自動機中，狀態q就是T_i的後綴在P的最長前綴的長度。這樣每次可以知足這個條件，就可以保證算法的正確進行。這裏，在《算法導論》中有詳細的數學證實。

KMP算法

KMP算法不創建一個有限自動機，可是必需要構建一個前綴函數，這裏就叫作前綴數組吧。模式P和本身先匹配，獲得前綴數組。前綴數組其實保存的就是自動機中的σ(x)的值。這樣預處理的時間複雜度和自動機比就減小了不少。

預處理

給定模式P：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a
next	0	0	1	2	3	4	5	6	0	1

這裏Pi[next[i]]表示的是Pi的關於P的最長後綴，P[i]表示P關於Pi的前綴。

當i=0時：

P0和P比較，P0[0] != P[0]，因此next[0]=0；

當i=1時：

P1和P比較，P1[0] != P[1]，因此next[1]=0；

當i=2時：

P2和P比較，P2[0] = P[2]，因此next[2]=1；

當i=3時：

P3和P比較，P3[1] = P[3]，因此next[3] = 2；

如此這般，就能夠求得next數組了。通常算法描述數組都是從1開始，可是寫代碼的時候，數組是從下標0開始的，因此上面的next數組的每個值都應該減一。next[i]=-1表示沒有前綴匹配。這樣在寫代碼的時候，應該是這樣的：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a
next	-1	-1	0	1	2	3	4	5	-1	0

當i=0時，初始化next[0] = -1；

當i=1時，(P1[next[0]+1] = a) != (P[1] = b)，next[1] = -1；

當i=2時，(P2[next[1]+1] = a) != (P[2] = a)，next[2] = 0；

當i=3時，(P3[next[2]+1] = b) !=(P[3] = b)，next[3] = 1；

...

這樣就不難發現next數組的做用了，記錄了當前的σ(Pi)。Pi[next[i]+1] = P[i]，就表示Pi最長前綴加一個字母和P的後綴加一個字母是否匹配。此時有兩種狀況：

• Pi[next[i]+1] = P[i]，這個時候σ(Pi+1) = σ(Pi) + 1，繼續
• Pi[next[i]+1] != P[i]，這個時候沒有直接從Pi[0]是否是等於P[i]掃描，而是從Pi[next[next[i]]+1]開始掃描。由於目前必定能夠保證Pi[next[next[i]]是P的一個前綴。

下面是C代碼的實現的求next數組：

void get_next(char *P, int next[],int len)
{
	printf("len=%d\n",len);
	next[0] = -1;
	int q = -1;
	int i;
	for(i = 1; i < len; i++) {
		while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判斷P[q+1]適合等於P[i] */
			q = next[q]; /* 若是不相等， 一直找到知足條件的最長後綴 */
		}
		if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 若是相等，那麼很好，繼續... */
		next[i] = q;
		
	}
}

 匹配

當求出next數組後，就能夠進行字符串匹配了。匹配的方法和求next的方法相識。下面是完整的代碼：

/*************************************************************************
    > File Name: KMP.c
    > Author: mr_zys
    > Mail: 247629929@163.com 
    > Created Time: 2014年10月09日 星期四 14時48分30秒
 ************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 100
int next[maxn];
char P[maxn],T[maxn];

void get_next(char *P, int next[],int len)
{
	printf("len=%d\n",len);
	next[0] = -1;
	int q = -1;
	int i;
	for(i = 1; i < len; i++) {
		while(q > 0 && P[q+1] != P[i]) { /* 判斷P[q+1]適合等於P[i] */
			q = next[q]; /* 若是不相等， 一直找到知足條件的最長後綴 */
		}
		if(P[q+1] == P[i]) q++; /* 若是相等，那麼很好，繼續... */
		next[i] = q;
		
	}
}
void KMP(char *P, char *T)
{
	int len_P = strlen(P);
	int len_T = strlen(T);
	int j = -1;
	int i;
	for(i = 0; i < len_T; i++) {
		while(j > -1 && T[i] != P[j+1]) {
			j = next[j];
		}
		if(P[j+1] == T[i]) {
			j++;
			//printf("%d %d\n",j,i);
		}
		if(j == len_P-1){
			printf("在%d處開始匹配\n",i-len_P+1);
			j = next[j];
		}
	}
}
int main()
{
	printf("input the string P:\n");
	scanf("%s",P);
	printf("input the string T:\n");
	scanf("%s",T);
	printf("%s\n",P);
	get_next(P,next,strlen(P));
	int i;
	for(i = 0; i < strlen(P); i++) {
		printf("(%d)",next[i]);
	}
	printf("\n");
	KMP(P,T);
	return 0;
}

 可能，中間有些表述不清，求指正哈！

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