箱圖 、小提琴圖

1、箱形圖box plot

1）箱型圖概念

箱形圖（Box-plot）又稱爲盒須圖、盒式圖或箱線圖，是一種用做顯示一組數據分散狀況資料的統計圖。因形狀如箱子而得名。

箱形圖於1977年由美國著名統計學家約翰·圖基（John Tukey）發明。它能顯示出一組數據的最大值、最小值、中位數、及上下四分位數。

2）箱形圖包含內容

 

"盒式圖"或叫"盒須圖""箱形圖"boxplot（也稱箱須圖(Box-whiskerPlot）須圖又稱爲箱形圖，其繪製須使用經常使用的統計量，能提供有關數據位置和分散狀況的關鍵信息，尤爲在比較不一樣的母體數據時更可表現其差別。

以下圖所示，標示了圖中每條線表示的含義，其中應用到了分位值（數）的概念。

主要包含六個數據節點，將一組數據從大到小排列，分別計算出他的上邊緣，上四分位數Q3，中位數，下四分位數Q1，下邊緣，還有一個異常值。

                                          圖1.箱形圖

                                            

 

3）繪製步驟

 

箱形圖提供了一種只用5個點對數據集作簡單總結的方式。這5個點包括中點、Q一、Q三、分部狀態的高位和低位。箱形圖很形象的分爲中心、延伸以及分佈狀態的所有範圍。

箱形圖中最重要的是對相關統計點的計算,相關統計點均可以經過百分位計算方法進行實現。

箱形圖的繪製步驟：[1] 

一、畫數軸，度量單位大小和數據批的單位一致，起點比最小值稍小，長度比該數據批的全距稍長。

二、畫一個矩形盒，兩端邊的位置分別對應數據批的上下四分位數（Q3和Q1）。在矩形盒內部中位數（Xm）位置畫一條線段爲中位線。

三、在Q3+1.5IQR和Q1－1.5IQR處畫兩條與中位線同樣的線段，這兩條線段爲異常值截斷點，稱其爲內限；在Q3+3IQR和Q1－3IQR處畫兩條線段，稱其爲外限。處於內限之外位置的點表示的數據都是異常值，其中在內限與外限之間的異常值爲溫和的異常值（mild outliers），在外限之外的爲極端的異常值(extreme outliers)。四分位距IQR=Q3-Q1。.

四、從矩形盒兩端邊向外各畫一條線段直到不是異常值的最遠點，表示該批數據正常值的分佈區間。

五、用「〇」標出溫和的異常值，用「*」標出極端的異常值。相同值的數據點並列標出在同一數據線位置上，不一樣值的數據點標在不一樣數據線位置上。至此一批數據的箱形圖便繪出了。統計軟件繪製的箱形圖通常沒有標出內限和外限。

4）做用（從數據的分佈來看）

 

數據異常值

        一批數據中的異常值值得關注，忽視異常值的存在是十分危險的，不加剔除地把異常值包括進數據的計算分析過程當中，對結果會帶來不良影響；重視異常值的出現，分析其產生的緣由，經常成爲發現問題進而改進決策的契機。箱形圖爲咱們提供了識別異常值的一個標準：異常值被定義爲小於Q1－1.5IQR或大於Q3+1.5IQR的值。雖然這種標準有點任意性，但它來源於經驗判斷，經驗代表它在處理須要特別注意的數據方面表現不錯。這與識別異常值的經典方法有些不一樣。衆所周知，基於正態分佈的3σ法則或z分數方法是以假定數據服從正態分佈爲前提的，但實際數據每每並不嚴格服從正態分佈。它們判斷異常值的標準是以計算數據批的均值和標準差爲基礎的，而均值和標準差的耐抗性極小，異常值自己會對它們產生較大影響，這樣產生的異常值個數不會多於總數0.7%。顯然，應用這種方法於非正態分佈數據中判斷異常值，其有效性是有限的。箱形圖的繪製依靠實際數據，不須要事先假定數據服從特定的分佈形式，沒有對數據做任何限制性要求，它只是真實直觀地表現數據形狀的原本面貌；另外一方面，箱形圖判斷異常值的標準以四分位數和四分位距爲基礎，四分位數具備必定的耐抗性，多達25%的數據能夠變得任意遠而不會很大地擾動四分位數，因此異常值不能對這個標準施加影響，箱形圖識別異常值的結果比較客觀。因而可知，箱形圖在識別異常值方面有必定的優越性。[2] 

偏態和尾重

        比較標準正態分佈、不一樣自由度的t分佈和非對稱分佈數據的箱形圖的特徵，能夠發現：對於標準正態分佈的大樣本，只有 0.7%的值是異常值,中位數位於上下四分位數的中央,箱形圖的方盒關於中位線對稱。選取不一樣自由度的t分佈的大樣本，表明對稱重尾分佈，當t分佈的自由度越小，尾部越重，就有越大的機率觀察到異常值。以卡方分佈做爲非對稱分佈的例子進行分析，發現當卡方分佈的自由度越小，異常值出現於一側的機率越大，中位數也越偏離上下四分位數的中心位置，分佈偏態性越強。異常值集中在較大值一側，則分佈呈現右偏態；；異常值集中在較小值一側，則分佈呈現左偏態。下表列出了幾種分佈的樣本數據箱形圖的特徵（樣本數據由SAS的隨機數生成函數自動生成），驗證了上述規律。這個規律揭示了數據批分佈偏態和尾重的部分信息，儘管它們不能給出偏態和尾重程度的精確度量，但可做爲咱們粗略估計的依據。

數據的形狀

        同一數軸上，幾批數據的箱形圖並行排列，幾批數據的中位數、尾長、異常值、分佈區間等形狀信息便一目瞭然。在一批數據中，哪幾個數據點出類拔萃，哪些數據點表現不及通常，這些數據點放在同類其它羣體中處於什麼位置，能夠經過比較各箱形圖的異常值看出。各批數據的四分位距大小，正常值的分佈是集中仍是分散，觀察各方盒和線段的長短即可明瞭。每批數據分佈的偏態如何，分析中位線和異常值的位置也可估計出來。還有一些箱形圖的變種，使數據批間的比較更加直觀明白。例若有一種可變寬度的箱形圖，使箱的寬度正比於批量的平方根，從而使批量大的數據批有面積大的箱，面積大的箱有適當的視覺效果。若是對同類羣體的幾批數據的箱形圖進行比較，分析評價，即是常模參照解釋方法的可視圖示；若是把受測者數據批的箱形圖與外在效標數據批的箱形圖比較分析，即是效標參照解釋的可視圖示。箱形圖結合這些分析方法用於質量管理、人事測評、探索性數據分析等統計分析活動中去，有助於分析過程的簡便快捷，其做用顯而易見。

5）JMP中作box plot

 

2、小提琴圖violin plot

1）概念

        小提琴圖 (Violin Plot) 用於顯示數據分佈及其機率密度。

        這種圖表結合了箱形圖和密度圖的特徵，主要用來顯示數據的分佈形狀。中間的黑色粗條表示四分位數範圍，從其延伸的幼細黑線表明 95% 置信區間，而白點則爲中位數。

        箱形圖在數據顯示方面受到限制，簡單的設計每每隱藏了有關數據分佈的重要細節。例如使用箱形圖時，咱們不能瞭解數據分佈是雙模仍是多模。雖然小提琴圖能夠顯示更多詳情，但它們也可能包含較多幹擾信息。