計算機底層負數實現

你真的瞭解Java中的負數？

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1、Java中如何編碼負數？

Java採用」2的補碼「(Two's Complement)編碼負數，它是一種數值的編碼方法，要分二步完成：第一步，每個二進制位都取相反值，0變成1，1變成0。好比，+8的二進制編碼是00001000，取反後就是11110111。第二步，將上一步獲得的值加1。11110111就變成11111000。因此，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示。關於「2的補碼」的詳細信息，請參考阮一峯的博文《關於2的補碼》，見附頁

2、什麼是符號擴展(Sign Extension)?

符號擴展（Sign Extension）用於在數值類型轉換時擴展二進制位的長度，以保證轉換後的數值和原數值的符號（正或負）和大小相同，通常用於較窄的類型（如byte）向較寬的類型（如int）轉換。擴展二進制位長度指的是，在原數值的二進制位左邊補齊若干個符號位（0表示正，1表示負）。

舉例來講，若是用6個bit表示十進制數10，二進制碼爲"00 1010"，若是將它進行符號擴展爲16bits長度，結果是"0000 0000 0000 1010"，即在左邊補上10個0（由於10是正數，符號爲0），符號擴展先後數值的大小和符號都保持不變；若是用10bits表示十進制數-15，使用「2的補碼」編碼後，二進制碼爲"11 1111 0001"，若是將它進行符號擴展爲16bits，結果是"1111 1111 1111 0001",即在左邊補上6個1（由於-15是負數，符號爲1），符號擴展先後數值的大小和符號都保持不變。

3、Java類型轉換規則

1. Java中整型字面量
   Java中int型字面量的書寫方式有如下幾種：

   • 十進制方式，直接書寫十進制數字

   • 八進制方式，格式以0打頭，例如012表示十進制10

   • 十六進制方式，格式爲0x打頭，例如0xff表示十進制255=15x16^1+15x16^0

   須要注意的是，在Java中012和0xff返回的都是int型數據，即長度是32位。

2. Java的數值類型轉換規則
   這個規則是《Java解惑》總結的：若是最初的數值類型是有符號的，那麼就執行符號擴展；若是是char類型，那麼無論它要被轉換成什麼類型，都執行零擴展。還有另一條規則也須要記住，若是目標類型的長度小於源類型的長度，則直接截取目標類型的長度。例如將int型轉換成byte型，直接截取int型的右邊8位。
   （char類型無符號，所以執行零擴展）

4、解析「多重轉型」問題

連續三次類型轉換的表達式以下：

(int)(char)(byte)-1

1. int(32位) -> byte(8位)
   -1是int型的字面量，根據「2的補碼」編碼規則，編碼結果爲0xffffffff，即32位所有置1。轉換成byte類型時，直接截取最後8位，因此byte結果爲0xff，對應的十進制值是-1.

2. byte(8位) -> char(16位)
   因爲byte是有符號類型，因此在轉換成char型（16位）時須要進行符號擴展，即在0xff左邊連續補上8個1（1是0xff的符號位），結果是0xffff。因爲char是無符號類型，因此0xffff表示的十進制數是65535。

3. char(16位) -> int(32位)
   因爲char是無符號類型，轉換成int型時進行零擴展，即在0xffff左邊連續補上16個0，結果是0x0000ffff,對應的十進制數是65535。

5、幾個轉型的例子

在進行類型轉換時，必定要了解表達式的含義，不能光靠感受。最好的方法是將你的意圖明確表達出來。
在將一個char型數值c轉型爲一個寬度更寬的類型時，而且不但願有符號擴展，能夠以下編碼：

int i = c & 0xffff;
上文曾提到過，0xffff是int型字面量，因此在進行&操做以前，編譯器會自動將c轉型成int型，即在c的二進制編碼前添加16個0，而後再和0xffff進行&操做，所表達的意圖是強制將前16置0，後16位保持不變。雖然這個操做不是必須的，可是明確表達了不進行符號擴展的意圖。

若是須要符號擴展，則能夠以下編碼：
int i = (short)c; //Cast causes sign extension
首先將c轉換成short類型，它和char是 等寬度的，而且是有符號類型，再將short類型轉換成int類型時，會自動進行符號擴展，即若是short爲負數，則在左邊補上16個1，不然補上16個0.

若是在將一個byte數值b轉型爲一個char時，而且不但願有符號擴展，那麼必須使用一個位掩碼來限制它：
char c = (char)(b & 0xff);
(b & 0xff)的結果是32位的int類型，前24被強制置0，後8位保持不變，而後轉換成char型時，直接截取後16位。這樣無論b是正數仍是負數，轉換成char時，都至關因而在左邊補上8個0，即進行零擴展而不是符號擴展。

若是須要符號擴展，則編碼以下：
char c = (char)b; //Sign extension is performed
此時爲了明確表達須要符號擴展的意圖，註釋是必須的。

6、小結

實際上在數值類型轉換時，只有當遇到負數時纔會出現問題，根本緣由就是Java中的負數不是採用直觀的方式進行編碼，而是採用「2的補碼」方式，這樣的好處是加法和減法操做能夠同時使用加法電路完成，可是在開發時卻會遇到不少奇怪的問題，例如(byte)128的結果是-128，即一個大的正數，截斷後卻變成了負數。3.2節中引用了一些轉型規則，應用這些規則能夠很容地解決常見的轉型問題。

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關於2的補碼

轉自 http://www.ruanyifeng.com/blo...

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問一個基本的問題。

負數在計算機中如何表示？

舉例來講，+8在計算機中表示爲二進制的1000，那麼-8怎麼表示呢？

很容易想到，能夠將一個二進制位（bit）專門規定爲符號位，它等於0時就表示正數，等於1時就表示負數。好比，在8位機中，規定每一個字節的最高位爲符號位。那麼，+8就是00001000，而-8則是10001000。

可是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部採用2的補碼（Two's Complement）表示負數。

什麼是2的補碼？

它是一種數值的轉換方法，要分二步完成：

第一步，每個二進制位都取相反值，0變成1，1變成0。好比，00001000的相反值就是11110111。
第二步，將上一步獲得的值加1。11110111就變成11111000。

因此，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示。
不知道你怎麼看，反正我以爲很奇怪，爲何要採用這麼麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道很差嗎？
昨天，我在一本書裏又看到了這個問題，而後就花了一點時間到網上找資料，如今總算完全搞明白了。

2的補碼的好處

首先，要明確一點。計算機內部用什麼方式表示負數，實際上是無所謂的。只要可以保持一一對應的關係，就能夠用任意方式表示負數。因此，既然能夠任意選擇，那麼理應選擇一種最方便的方式。
2的補碼就是最方便的方式。它的便利體如今，全部的加法運算可使用同一種電路完成。

仍是以-8做爲例子。
假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另外一種是2的補碼錶示法，即11111000。請問哪種表示法在加法運算中更方便？
隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?
16的二進制表示是 00010000，因此用直覺表示法，加法就要寫成：
　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００
能夠看到，若是按照正常的加法規則，就會獲得10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種狀況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，所以必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須爲加法運算作兩種電路。

如今，再來看2的補碼錶示法。
　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
能夠看到，按照正常的加法規則，獲得的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。咱們已經假定這是一臺8位機，所以最高的第9位是一個溢出位，會被自動捨去。因此，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼錶示法能夠將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就能夠實現所有整數的加法。

2的補碼的本質

在回答2的補碼爲何能正確實現加法運算以前，咱們先看看它的本質，也就是那兩個步驟的轉換方法是怎麼來的。
要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就能夠了。好比，-8其實就是0-8。
已知8的二進制是00001000，-8就能夠用下面的式子求出：
　００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
由於00000000（被減數）小於0000100（減數），因此不夠減。請回憶一下小學算術，若是被減數的某一位小於減數，咱們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就能夠了。
因此，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數實際上是100000000，算式也就改寫成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
進一步觀察，能夠發現100000000 = 11111111 + 1，因此上面的式子能夠拆成兩個：
　１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００
2的補碼的兩個轉換步驟就是這麼來的。

另：
＋４：０００００１００
＋３：００００００１１
＋２：００００００１０
＋１：０００００００１
　０：００００００００
－１：１１１１１１１１
－２：１１１１１１１０
－３：１１１１１１０１
－４：１１１１１１００
觀察規律得出

爲何正數加法適用於2的補碼？

實際上，咱們要證實的是，X-Y或X+(-Y)能夠用X加上Y的2的補碼完成。
Y的2的補碼等於(11111111-Y)+1。因此，X加上Y的2的補碼，就等於：
X-Y
= X + (11111111-Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y

這就證實了，在正常的加法規則下，能夠利用2的補碼獲得正數與負數相加的正確結果。換言之，計算機只要部署加法電路和補碼電路，就能夠完成全部整數的加法。