新生賽 1011 世界的光棍節禮物

題目：

     如今，11.11在大學生活中是個特殊的日子，不少學校都把它當成男生節，做爲師姐，LPT也想給師弟發下福利，但是師弟那麼多，如何發？因而她想了一個點子，
能夠出一道數學題考考師弟們，前三位AC這道題的師弟就能夠獲得小禮物啦！
有一組數列，它有n+2個元素，a[0],a[1], ..., a[n+1] (n <= 3000, -10000 <= a[i]<=10000) ，對於i = 1，2，3，...，n知足$a_i-c_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-b_i$，
若是給出a[0]，a[n+1] 以及集合B、C的全部元素值（即給出b[1],b[2]...b[n]和c[1],c[2],...,c[n]，-100≤b[i], c[i]≤100），都是保留小數點後兩位的數，聰明的
你可否算出a[1]？

思路：

      首先，常數項能夠並在一塊兒，$a_i-c_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-b_i$, 用 $d_i  = b_i -c_i$ 把式子變造成：$a_i=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}-d_i$

再次變形：$a_{i+1} - a_i - 2d_i = a_i - a_{i-1}$         ···  (1)

      而後，i = 1開始，到i = n，根據公式獲得 n個式子：

　　　　$a_2 - a_1 - 2d_1 = a_1 - a_0$   

　　　　$a_3 - a_2 - 2d_2 = a_2 - a_1$   

　　　　···

　　　　$a_{n+1} - a_n - 2d_n = a_n - a_{n-1}$   

      把這n個式子累加，獲得

 　　　　$a_0 - a_1 + a_{n+1} - a_n - 2 * \sum^{n}_{i = 1}d_i  = 0$       ··· (2)

      由式（1）可得

 　　　　$a_{n+1} - a_n - 2d_n= a_n - a_{n-1}$    

　　代入（2）可得代入                      

　　　　 $ a_0 - a_1 + a_n - a_{n-1} - 2 *\sum^{n-1}_{i = 1}d_i=0$        ··· (3)

      重複，獲得：

　　　　$a_0 - a_1 + a_2 - a_1 - 2d_1 = 0$          ··· (n+1)

      將式(2)加到式子(n+1)，得：

　　　　$a_1=\frac{n*a_0 + a_{n+1} - 2 * n * d_1 - 2 * (n-1) * d_2 - ··· - 2 * d_n}{n+1}$

 

 代碼：

 

 1 #include<cstdio>
 2 int main()
 3 {
 4     //freopen("data_in.txt", "r", stdin);
 5     //freopen("data_out.txt", "w", stdout);
 6     int n, i, T;
 7     double  a1, x, y, b[3010], c[3010], d[3010], sum;
 8     scanf("%d", &T);
 9     while(T--)
10     {
11         sum = 0.0;
12         scanf("%d", &n);
13         scanf("%lf%lf", &x, &y);
14         for(i = 1; i <= n; i++)
15         {
16             scanf("%lf", &b[i]);
17         }
18         for(i = 1; i <= n; i++)
19         {
20             scanf("%lf", &c[i]);
21             d[i] = b[i] - c[i];
22         }
23         for(i = 1; i <= n; i++)
24         {
25             sum += 2 * (n - i + 1) * d[i];
26         }
27         a1 = (n * x - sum + y) / ( n + 1);
28         printf("%.2lf\n", a1);
29     }
30 
31     return 0;
32 }

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