算法初探 - 最短路徑

更新記錄

【1】2020.05.21-00:36

1.完善dijkstra
【2】2020.05.21-11:25
1.完善dijkstra堆優化

正文

鉛製芝士（會一點點就行啦~）

• 動態規劃
• 貪心
• 鏈式前向星
• 堆

持續更新中...

在學習圖論算法的時候，最短路算法就是必學算法之一
那麼既然它這麼重要，就更須要咱們深刻了解，熟練掌握
默認圖爲連通圖

dijkstra算法

有點貪心動規的意思

• 咱們能夠發現，起點到任何一個點的最短路都要通過至少一個的中轉點（起點s也算一個中轉點）
• 那麼咱們發現，若是想求出這個點的最短路，那麼一定要求出它中轉點的最短路
• • 首先dijkstra算法不能處理負邊權，因此咱們在使用時默認圖無負邊權
• • 因此1-其中一個中轉點的最短路，必定小於等於1-終點的最短路
• • 當小於時，中轉點比其先肯定最短路
• • 當等於時，誰先處理都是同樣的結果
• 那麼依此類推，最後終將推到一個最最最簡單的問題：兩點間的最短路

這個問題只要你會存圖人就會作
（很像動態規劃對不對）

^RT，咱們要求出1-5的最短路徑

就必須求出起點到中轉點的最短路徑，中轉點爲4

想求出1-4的最短路徑，就先去求1-3的最短路徑

同理求1-2

而1-2的最短路就是其鏈接邊的權值

算法思路：

定義變量（鏈式前向星的那堆變量就再也不重複寫了）：
dis[i]：表示從起點到i的最短距離
f[i]：記錄這條邊有沒有被肯定過最短路
s表示起點

初始化：dis[i]=∞;dis[s]=0

遍歷每個點

• 對於每個點a，找到一個dis[b]最小的頂點b
• b被肯定過最短路
• 遍歷全部以b爲起點的邊，更新它們的dis
  算法結束

#include<iostream>
using namespace std;
#define NUM 500050
#define INF 2147483647
struct Edge{
	int na,np,w;
}e[NUM];
int head[NUM],dis[NUM],num,n,m,s,u,v,w,minn;
bool f[NUM];
inline void add(int f,int t,int w){
	e[++num].na=head[f];
	e[num].np=t,e[num].w=w;
	head[f]=num;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=0;i<m;i++){
		cin>>u>>v>>w;
		add(u,v,w);
	}
//初始化
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
	dis[s]=0;
//遍歷每個點
	for(int i=1;i<=n;i++){
//對於每個點a，找到一個dis[b]最小的頂點b
		minn=-1;
		for(int o=1;o<=n;o++)
			if(f[o]==0&&(dis[minn]>dis[o]||minn==-1)) minn=o;
//b被肯定過最短路
		f[minn]=1;
//遍歷全部以b爲起點的邊，更新它們的dis
		for(int o=head[minn];o!=0;o=e[o].na)
			if(!f[e[o].np])
				dis[e[o].np]=min(dis[e[o].np],dis[minn]+e[o].w);
	}
//算法結束，輸出s到各點的最短距離
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" ";
}

dijkstra堆優化

咱們能夠發現，對於原來的dijkstra算法，每次查找最小值時間複雜度都爲O(n)

那麼有什麼算法能夠在常數時間內求出最小值呢？
固然是（線段樹）堆啦！

創建一個小根堆，便可迅速求出全部數據的最小值

那麼咱們發現，對於每次掃描，會有一些數據已經肯定過最小值，再次進行掃描會浪費時間
因此咱們要使用隊列來實現

最終結論：用優先隊列+二元組實現
明白了這個以後，這道題對你來講+岩漿=黑曜石

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll int
#define NUM 500050
#define INF 2147483647
struct Edge{
	int na,np,w;
}e[NUM];
ll head[NUM],dis[NUM],num,n,m,s,u,v,w,minn,bf,i;
bool f[NUM];
priority_queue<pair<ll,ll>,vector<pair<ll,ll> >,greater<pair<ll,ll> > >q;
inline void add(int f,int t,int w){
	e[++num].na=head[f];
	e[num].np=t,e[num].w=w;
	head[f]=num;
}
inline int read() {
    int X=0,W=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') W=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+c-'0',c=getchar();
    return X*W;
}
int main(){
	n=read();m=read();s=read();
	for(i=0;i<m;++i){
		u=read();v=read();w=read();
		add(u,v,w);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=INF;
	dis[s]=0;
//以上所有爲初始化
	q.push(make_pair(0,s));
//將起點壓進隊列
	while(q.size()){
//若是隊列裏還有元素
		bf=q.top().second;q.pop();
//bf爲當前次遍歷的起點，保存後將這個元素彈出
		if(f[bf]) continue;
//搜過了就不搜了
		f[bf]=1;
//沒搜過就標記一下
		for(int i=head[bf];i;i=e[i].na){
//一樣的遍歷
			if(dis[bf]+e[i].w<dis[e[i].np]){
//找到了更短的路徑
				dis[e[i].np]=dis[bf]+e[i].w;
//更新
				q.push(make_pair(dis[e[i].np],e[i].np));
//既然有更優解那就將這個點壓進隊列，用來更新其餘點
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dis[i]);
//out
}

那麼至於爲何make_pair的參數是最短距離，邊的終點呢？

爲何不反過來存或存其餘的參數呢

由於這是個自動排序的優先隊列啊
由於二元組自帶排序規則啊