數學趣題：農夫賣雞

     

最近微博上看到的比較有趣的數學題：

下面是原文：

陶哲軒兒子做業題，他說本身花了15分鐘：三農夫分別要賣10, 16, 和26只雞。爲避免價格戰，你們商量以每隻雞同價銷售，一上午沒人賣完。仨人午飯時決定同步降價，下午終於完成任務，每人皆得35元。請問網友午餐先後雞價分別幾何? 請答者附上解題思路和步驟及記錄所用的時間！不比速度！

 

這類題目一看就是從多個約束條件中，求出知足約束的值。

按照習慣，先設幾個變量，

1. 早上的價格是x元，下午的價格是y元，可知 x > y。

2. 10只雞農夫早上賣了a只雞，16只雞的早上賣了b只，26只雞的早上賣了c只，可知，10 >a > b > c >0

列出幾個等式

1. ax + (10-a)y = 35 (E1)

2. bx + (16-b)y = 35 (E2)

3. cx + (26-c)y = 35 (E3)

E1-E2得：(a-b)x - (a-b)y - 6y = 0  (E4)

E1-E3得：(a-c)x - (a-c)y -16y = 0  (E5)

E2-E3得：(b-c)x - (b-c)y - 10y = 0  (E6)

5個變量，3個等式，顯然還算不出答案，可是將等式E4變形，能夠獲得

(a-b)(x-y) = 6y (E7)

則有

(a-b)/6 = y/(x-y) (E8)

設y/(x-y)=k，那麼就能夠少一個變量了

因而從E8和E5，E6可得

1. (a-b)/6 = k  (E9)

2. (a-c)/16 = k  (E10)

3. (b-c)/10 = k  (E11)

由E9和a>b可得k >= 1/6

由E10和a<10可得 k <= 9/16

則有 1/6 <= k <= 9/16 (E12)

並且6k，16k，10k是天然數。

知足10k是天然數和E12的k值可取，0.2, 0.3, 0.4, 0.5這4個值。

而其中能知足6k和16k是天然數的，只有0.5，因此k=0.5

因此y/(x-y) = 0.5，則有x = 3y 

則由E9，E10，E11可得

1. a-b=3  (E13)

2. a-c=8  (E14)

3. b-c=5  (E15)

由E14可得，a=8+c，且a <10

則，a可取8或者9。

當a = 8時，b = 5, c = 0。代入E1可得，y=35/26

當a = 9時，b = 6, c = 1。代入E1可得，y=35/28=5/4=1.25

考慮實際生活中，不可能使用無限小數，故舍去y=35/26。

因此y只能爲1.25,x=3y=3.75。早上雞價格爲3.75元，下午價格爲1.25元