理解數學空間，從距離到希爾伯特空間

 

在數學中有許多空間表示，好比歐幾里德空間、賦範空間、希爾伯特空間等。這些空間之間有什麼關係呢？

首先要從距離的定義提及。
什麼是距離呢？實際上距離除了咱們常常用到的直線距離外，還有向量距離如Σni=1xi⋅yi−−−−−−−−√Σi=1nxi⋅yi， 函數距離如∫ba(f(x)−g(x))2dx∫ab(f(x)−g(x))2dx、 曲面距離、折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係相似於蘋果、香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是一個抽象的概念，其定義爲：
設X是任一非空集，對X中任意兩點x,y，有一實數d(x,y)與之對應且知足：
1. d(x,y) ≥≥0，且d(x,y)=0當且僅當x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤≤d(x,z)+d(z,y)。
稱d(x,y)爲X中的一個距離。

定義了距離後，咱們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其知足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而造成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間。

在向量空間中，咱們定義了範數的概念，表示某點到空間零點的距離：
1. ||x|| ≥≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤≤||x||+||y||。

將範數與距離比較，可知，範數比距離多了一個條件2，數乘的運算，代表其是一個強化了的距離概念。範數與距離的關係能夠相似理解爲與紅富士蘋果與蘋果的關係。

接下來對範數和距離進行擴展，造成以下：
範數的集合⟶⟶ 賦範空間+線性結構⟶⟶線性賦範空間
距離的集合⟶⟶ 度量空間+線性結構⟶⟶線性度量空間

下面在已經構成的線性賦範空間上繼續擴展，添加內積運算，使空間中有角的概念，造成以下：
線性賦範空間+內積運算⟶⟶ 內積空間；
這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是咱們熟悉的歐氏空間。

繼續在內積空間上擴展，使得內積空間知足完備性，造成希爾伯特空間以下：
內積空間+完備性⟶⟶ 希爾伯特空間
其中完備性的意思就是空間中的極限運算不能跑出該空間，若有理數空間中的2–√2 的小數表示，其極限隨着小數位數的增長收斂到2–√2，但2–√2 屬於無理數，並不在有理數空間，故不知足完備性。一個通俗的理解是把學校理解爲一個空間，你從學校內的宿舍中開始一直往外走，當走不動停下來時（極限收斂），發現已經走出學校了（超出空間），不在學校範圍內了（不完備了）。希爾伯特就至關於地球，不管你怎麼走，都還在地球內（飛出太空除外）。

此外，前面提到的賦範空間，使其知足完備性，擴展造成巴拿赫空間以下：
賦範空間+完備性⟶⟶ 巴拿赫空間

以上均是在距離的概念上進行添加約束造成的，遞增關係以下：
距離⟶⟶範數⟶⟶內積
向量空間+範數⟶⟶ 賦範空間+線性結構⟶+線性結構⟶線性賦範空間+內積運算⟶⟶內積空間+完備性⟶⟶希爾伯特空間
內積空間+有限維⟶⟶歐幾里德空間
賦範空間+完備性⟶+完備性⟶巴拿赫空間

順便提如下，對距離進行弱化，保留距離的極限和連續概念，就造成拓撲的概念。