求1到n這n個整數間的異或值 （O(1)算法)

 

 

問題：求1到n這n個整數間的異或值，即 1 xor 2 xor 3 ... xor n

 

記 f(x, y) 爲x到y的全部整數的異或值。

 

對 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是「冪」，xor 表示「異或」，or 表示「或」)：

2^k 到 2^(k+1) -1 這2^k個數，最高位（+k位）的1個數爲2^k，

若 k >= 1，則2^k爲偶數，將這2^k個數的最高位(+k位)去掉，異或值不變。

於是 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)

於是 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1)

即 f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)

 

對 f(0, n)  (n >= 4) 設n的最高位1是在+k位(k >= 2)，

f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n)

對2^k到n這n+1-2^k個數，最高位(+k位)共有 m = n+1-2^k 個1,去除最高位的1

 

當n爲奇數時，m是偶數，於是 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)

因爲n - 2^k 與 n同奇偶，遞推上面的公式，可得：f(0, n) = f(0, n % 4)

當 n % 4 == 1 時， f(0, n) = f(0, 1) = 1

當 n % 4 == 3 時， f(0, n) = f(0, 3) = 0

 

當n爲偶數時，m是奇數，於是 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)  or  2^k

也就是說，最高位1保持不變，因爲n - 2^k 與 n同奇偶，遞推上面的公式，

可得：f(0, n) = nn or  f(0, n % 4)   (nn爲 n的最低2位置0)

當 n % 4 == 0 時， f(0, n) = n

當 n % 4 == 2 時， f(0, n) = nn or  3 = n + 1 （公式對 n = 2仍成立）

 

綜上所述：

f(1, n)  =  f(0, n)  =

   n      n % 4 == 0

   1      n % 4 == 1

   n +1   n % 4 == 2

0      n % 4 == 3

 

代碼：

unsigned xor_n(unsigned n)

{

 unsigned t = n & 3;

 if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

 return t / 2u ^ n;

}

做者：  flyinghearts 
出處：  http://www.cnblogs.com/flyinghearts/ 
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