排序算法之計數排序

這裏是傳送門⇒總結：關於排序算法

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	平均時間複雜度	最優時間複雜度	最差時間複雜度	空間複雜度	穩定性
計數排序	O(n+m)	O(n+m)	O(n+m)	O(n+max)	穩定
優化後	O(n+m)	O(n+m)	O(n+m)	O(n+m)	穩定

注：m爲待排序列取值範圍大小，max爲待排序列最大值

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計數排序一種是「空間換時間」的排序，只能直接應用於非負整數的排序中（由於數組下標是非負整數，至關於用待排元素i做爲索引，數組元素的值count[i]是待排序列中小於或者等於該下標i的元素數量）。

優點在對於元素取值範圍m較小的待排序列的排序中，（優化後）時間複雜度是線性的Ο(n+m)，快於任何鍵值比較排序算法。固然若是O(m)>O(nlogn)，其效率反而不如基於鍵值比較的排序，若數據範圍m比排序數據的數量n大不少，就不適合用計數排序。

雖然算法中有比較，但並不是是鍵值間的比較，而是經過對元素值的計數和計數值的累加來肯定的。

• 算法描述
  • 對於待排序列中的每個元素，肯定序列中小於等於該元素的元素個數。經過這個信息將每一個元素放在序列中正確的位置
  • 固然，若是有多個元素具備相同的值時，咱們不能將這些元素放在序列的同一個位置上
  • 過程舉例：初始化後count[0] = 1, count[1] = 2（此時意爲序列中有1個0和2個1），則count[1] = count[0] + count[1] = 3，即序列中小於等於「1」的元素個數count[1]爲3，則第一個值爲「1」的元素應該放在序列的第count[1]個位置，即第3個位置array[2]；而後讓count[1]--爲2，即如今待排序列中小於等於「1」的元素只有2個，那麼第二個值爲「1」的元素放在序列的第count[1]個位置，即第2個位置array[1]。爲了維持其穩定性，讓填充操做方向爲序列末尾往前
• JS實現

// 此處沒有改變array
function CountingSort(array) {
    var len = array.length;
    if (len <= 1) {
        return array;
    }
    var max = array[0];
    var count = [],
        res = [];
    for (var i = 1; i < len; i++) {
        if (array[i] > max) {
            max = array[i];
        }
    }
    var countLen = max + 1;
    for (var i = 0; i < countLen; i++) {
        count[i] = 0;
    }
    for (var i = 0; i < len; i++) {
        count[array[i]]++;
    }
    for (var i = 1; i < countLen; i++) {
        count[i] += count[i - 1];
    }
    for (var i = len - 1; i >= 0; i--) {
        res[count[array[i]] - 1] = array[i];
        count[array[i]]--;
    }
    return res;
}

• 分析

  • 設待排序列的長度爲n，取值範圍大小爲m，最大值max
  • 無論什麼狀況下，操做C(n) = O(3n + m) = O(n + m)，即時間複雜度T(n) = O(n + m)
  • 空間複雜度主要看count數組和res數組佔用的內存，即CountingSort的S(n) = O(n + max)
  • 根據分析，計數排序的侷限性在於若是取值範圍m太大，複雜度就不夠優秀和元素必須是非負整數（下面的優化能夠兼容負整數，而在js中把count數組換成「對象」的話就能夠兼容小數了）
  • 因爲在算法中重複元素在序列的位置是是先給靠近末尾的，填充方式是從末尾向前的，因此計數排序是穩定的

• 優化

  • 當前的count數組的長度是由待排序列的最大值決定的，當待排序列中元素的取值範圍爲8-10時，count數組長度爲11，count數組中0-7位置會閒置，形成浪費
  • 優化爲count數組長度爲元素取值範圍，偏移量爲最小值。即當待排序列中元素的取值範圍爲8-10時，count數組長度爲3（即10-8+1），映射偏移量爲8，意爲待排序列中小於等於8的元素個數存放在count[8-偏移量8] = count[0]中
  • 這樣作不只節省了空間，並且利用偏移量，可讓計數排序兼容負數（仍是隻能整數）的狀況，由於每一個元素減去偏移量（序列最小值）以後一定爲非負數，可做爲count的下標
  • 優化後的CountingSortPlus的S(n) = O(m + n)

• 優化版的JS實現

// 此處沒有改變array
function CountingSortPlus(array) {
    var len = array.length;
    if (len <= 1) {
        return array;
    }
    var min = max = array[0];
    var count = [],
        res = [];
    for (var i = 1; i < len; i++) {
        if (array[i] > max) {
            max = array[i];
        }
        if (array[i] < min) {
            min = array[i];
        }
    }
    var countLen = max - min + 1;
    for (var i = 0; i < countLen; i++) {
        count[i] = 0;
    }
    for (var i = 0; i < len; i++) {
        count[array[i] - min]++;
    }
    for (var i = 1; i < countLen; i++) {
        count[i] += count[i - 1];
    }
    for (var i = len - 1; i >= 0; i--) {
        res[count[array[i] - min] - 1] = array[i];
        count[array[i] - min]--;
    }
    return res;
}