格子刷油漆【動態規劃問題】—NYOJ 980

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出處：藍橋杯

題目描述：

X國的一段古城牆的頂端能夠當作 2*N個格子組成的矩形（以下圖所示），現須要把這些格子刷上保護漆。

你能夠從任意一個格子刷起，刷完一格，能夠移動到和它相鄰的格子（對角相鄰也算數），但不能移動到較遠的格子（由於油漆未乾不能踩！）
好比：a d b c e f 就是合格的刷漆順序。
c e f d a b 是另外一種合適的方案。
當已知 N 時，求總的方案數。當N較大時，結果會迅速增大，請把結果對 1000000007 (十億零七) 取模。

 

輸入：

輸入數據爲一個正整數（不大於1000）

 

輸出：

輸出數據爲一個正整數。

 

樣例輸入：

 

2 3 22

樣例輸出：

 

24 96 359635897

 

思路：

固定起點，因爲若是起點在中間（第2~N-1列）能夠分爲左右兩邊來討論，這時起點都是角格子。假如a[i]表示2*i的格子從左上角開始刷刷完全部格子的方案數（其中i表示列數，1<=i<=N），有三種刷法刷完全部格子：

1. 先向下刷（即先刷左下角），向下刷完以後有兩種方法跳到下一列，刷完剩下的i-1列須要2*a[i-1]；
2. 向下一列刷，最後刷左下角，能夠看出不能同列刷，只能一直向右刷，且在沒有到最後一列以前是不能返回，因此刷完全部格子有2^i個方案；（此種狀況比較特殊，後面須要還要用到，因此單獨用b[i]存儲下來）
3. 向下一列刷，有兩種方案到下一列，而後返回左下角，再刷下一列未刷格子以後，而後有兩種方案再到下一列，可見有四種方案到下下列，因此刷完全部格子有4*a[i-2]個方案；

總之，就是左下角格子何時刷，形成了不一樣的狀況。若是是起點不在角格子上，不難看出，能夠將左右兩側分割成2*i和2*(N-i)的矩形，須要其中一個矩形使用第2種刷法刷才能回到另外一個矩形中。

參考：https://blog.csdn.net/roosevelty/article/details/50706322

 

AC代碼：

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

#include <bits/stdc++.h> #define mod 1000000007 using namespace std;   long long a[1005], b[1005], sum;   int main() {     int N;     while(cin >> N)     {         sum = 0;         b[1] = 1;         for(int i = 2; i <= N; i++)         {             b[i] = b[i-1] * 2 % mod;         }         a[1] = 1;         a[2] = 6;         for(int i = 3; i <= N; i++)         {             a[i] = b[i] + a[i-2]*4 + a[i-1]*2;             a[i] %= mod;         }         sum += 4*a[N];  // 四個角的狀況         // 中間爲起點的狀況         for(int i = 2; i < N; i++)         {             sum += (2*b[i]*2*a[N-i]+2*a[i-1]*2*b[N-i+1])%mod;         }         if(N == 1) sum = 2;         cout << sum %mod << endl;     }     return 0; }