UOJ #207. 共價大爺遊長沙（LCT + 異或哈希)

題目

維護一顆動態樹，並維護一個點對集合 \(S\) 。

動態查詢一條邊，是否被集合中全部點對構成的路徑包含。

\(n \le 100000, m \le 300000\)

題解

orz 前輩 毛爺爺。

一個頗有意思的 trick 。

若是一條邊，被一條路徑包含，那麼兩個端點分別存在與這條邊對應的兩個子樹內。

咱們就能夠利用這個巧妙的性質來作了。

咱們每次給兩個端點異或上一個隨機的權值，而後就能夠每次查詢這條邊對應的任意一顆子樹內全部點異或和 \(res\) ，若是 \(res\) 不等於前面全部操做的異或和，那麼就是錯的，不然就是正確的。

這利用了異或的自反性，若是兩個端點都在子樹中那麼貢獻就會抵消掉，因此就是不合法的。

能夠證實這個正確率會很是的高。

至於維護子樹信息，只須要 \(lct\) 多維護一個虛子樹信息就好了，也就是對於 \(access,link,cut,pushup\) 多進行一些操做就好了。

總結

對於有些動態樹路徑的題，能夠考慮只維護兩個端點，不用維護整個路徑上的信息。

而後能夠利用異或的自反性，來保證集合中每一個數出現而且僅出現一（奇數）次。

代碼

具體實現就在代碼裏面了。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

typedef unsigned int ui;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("207.in", "r", stdin);
    freopen ("207.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3;

#define ls(o) ch[o][0]
#define rs(o) ch[o][1]

template<int Maxn>
struct Link_Cut_Tree {

    int ch[Maxn][2], fa[Maxn];

    inline bool is_root(int o) { 
        return ls(fa[o]) != o && rs(fa[o]) != o; 
    }

    inline bool get(int o) { 
        return rs(fa[o]) == o; 
    }

    ui val[Maxn], sub[Maxn], isub[Maxn];

    inline void push_up(int o) {
        sub[o] = sub[ls(o)] ^ sub[rs(o)] ^ isub[o] ^ val[o];
    }

    void rotate(int v) {
        int u = fa[v], t = fa[u], d = get(v);
        fa[ch[u][d] = ch[v][d ^ 1]] = u;
        fa[v] = t; if (!is_root(u)) ch[t][rs(t) == u] = v;
        fa[ch[v][d ^ 1] = u] = v;
        push_up(u); push_up(v);
    }

    bool rev[Maxn]; 

    inline void Get_Rev(int o) { 
        rev[o] ^= 1; swap(ls(o), rs(o)); 
    }

    inline void push_down(int o) {
        if (rev[o])
            Get_Rev(ls(o)), Get_Rev(rs(o)), rev[o] = false;
    }

    void Push_All(int o) {
        if (!is_root(o)) Push_All(fa[o]); push_down(o);
    }

    inline void Splay(int o) {
        Push_All(o);
        for (; !is_root(o); rotate(o))
            if (!is_root(fa[o])) rotate(get(o) != get(fa[o]) ? o : fa[o]);
    }

    inline void Access(int o) {
        for (int t = 0; o; o = fa[t = o])
            Splay(o), isub[o] ^= sub[rs(o)], isub[o] ^= sub[rs(o) = t], push_up(o);
    }

    inline void Make_Root(int o) {
        Access(o); Splay(o); Get_Rev(o);
    }

    inline void Split(int u, int v) {
        Make_Root(u); Access(v); Splay(v);
    }

    inline void Link(int u, int v) {
        Split(u, v); fa[u] = v; isub[v] ^= sub[u]; push_up(v);
    }

    inline void Cut(int u, int v) {
        Split(u, v); ls(v) = fa[u] = 0; push_up(v);
    }

};

Link_Cut_Tree<N> T;

inline void Update(int o, ui val) {
    T.Access(o); T.Splay(o); T.val[o] ^= val; T.push_up(o);
}

random_device Rand;

pair<int, int> Up[N * 3]; ui Val[N * 3], len = 0;

int main () {

    File();

    read();

    int n = read(), m = read();

    For (i, 1, n - 1) T.Link(read(), read());

    ui cur = 0;
    For (i, 1, m) {

        int opt = read();
        if (opt == 1) {
            int x = read(), y = read(), u = read(), v = read();
            T.Cut(x, y); T.Link(u, v);
        }
        if (opt == 2) {
            int x = read(), y = read(); Val[++ len] = Rand();
            cur ^= Val[len]; Update(x, Val[len]); Update(y, Val[len]);
            Up[len] = make_pair(x, y);
        }
        if (opt == 3) {
            int id = read(), x = Up[id].first, y = Up[id].second;
            cur ^= Val[id]; Update(x, Val[id]); Update(y, Val[id]);
        }
        if (opt == 4) {
            int x = read(), y = read(); 
            T.Split(x, y); 
            puts(T.sub[x] == cur ? "YES" : "NO");
        }
    }

    return 0;

}