c語言-01揹包問題

01揹包問題

問題：有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使價值總和最大。

分析：

這是最基礎的揹包問題，特色是：每種物品僅有一件，能夠選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量爲v的揹包能夠得到的最大價值。則其狀態轉移方程即是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

這個方程很是重要，基本上全部跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。因此有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量爲v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就能夠轉化爲一個只牽扯前i-1件物品的問題。若是不放第i件物品，那麼問題就轉化爲「前i-1件物 品放入容量爲v的揹包中」，價值爲f[i-1][v]；若是放第i件物品，那麼問題就轉化爲「前i-1件物品放入剩下的容量爲v-c[i]的揹包中」，此時能得到的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上經過放入第i件物品得到的價值w[i]。

優化：

以上方法的時間和空間複雜度均爲O(VN)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻能夠優化到O。

先考慮上面講的基本思路如何實現，確定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f[i][0..V]的全部值。那麼，若是隻用一個數組 f[0..V]，能不能保證第i次循環結束後f[v]中表示的就是咱們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]兩個子問題遞推而來，可否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環中推f[v]時）可以獲得f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主循環中咱們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]保存的是狀態 f[i-1][v-c[i]]的值。僞代碼以下：

for i=1..N

    for v=V..0

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

代碼實現：

 1 /***************01揹包問題******************/
 2 #include <iostream>
 3 
 4 using namespace std;
 5 #define INF -65536
 6 const int V=1000;//定義體積的最大值；
 7 const int T=5;//定義商品的數目；
 8 int f[V+1];
 9 //#define EMPTY
10 int w[T]={6,8,3,9,2};//商品的價值；
11 int c[T]={400,600,500,600,900};//商品的體積；
12 int package()
13 {
14     #ifdef EMPTY//能夠不裝滿
15         for(int i=0;i<=V;i++)//條件編譯，表示能夠不存儲滿
16         {
17             f[i]=0;
18         }
19     #else//必須裝滿
20         f[0]=0;
21         for(int i=1;i<=V;i++)//條件編譯，表示必須存儲滿
22         {
23             f[i]=INF;
24         }
25     #endif // EMPTY
26     for(int i=0;i<T;i++)
27     {
28         for(int v=V;v>=c[i];v--)
29         {
30             f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);
31         }
32     }
33     return f[V];
34 }
35 int main()
36 {
37     int temp;
38     temp=package();
39     cout<<temp<<endl;
40     return 0;
41 }

說

咱們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求「剛好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並無要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不一樣。

若是是第一種問法，要求剛好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]爲0其它f[1..V]均設爲-∞，這樣就能夠保證最終獲得的f[N]是一種剛好裝滿揹包的最優解。

若是並無要求必須把揹包裝滿，而是隻但願價格儘可能大，初始化時應該將f[0..V]所有設爲0。

爲何呢？能夠這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品能夠放入揹包時的合法狀態。若是要求揹包剛好裝滿，那麼此時只有容量爲0的揹包可能被價值爲0的nothing「剛好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。若是揹包並不是必須被裝滿，那麼 任何容量的揹包都有一個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值爲0，因此初始時狀態的值也就所有爲0了。

明：