《一個數學家的嘆息》讀後

原文來源：臺灣《數學傳播》39卷1期, pp. 63-65
做者：臺灣大學數學系退休教授張海潮

《一個數學家的嘆息》(A Mathematician’s Lament)一書的做者Paul Lockhart (保羅·洛克哈特)是一個怪咖。他原本在美國布朗大學數學系任教,公元2000年, 洛克哈特忽然決定離職，自我「下放」到中小學去當老師。洛克哈特去的這間學校是紐約市布魯克林區的Saint Ann’s school，該校的學生從幼兒園到高三都有， 洛克哈特在這裏什麼年級都教。

促成洛克哈特下放的緣由,照洛克哈特本身的說法是由於第一:洛克哈特以爲大學很腐敗,已經不是探討學術的園地,而淪爲爭名逐利的地方。第二:洛克哈特再也不想教大學生,由於從中學上來,這些學生的數學已經毀了,他們不再能欣賞數學的真與美。

原來洛克哈特認爲數學,正如音樂或美術,是一種藝術,而且是藝術最純粹的形式(the purest form of arts)。在《嘆息》這本書一開始,洛克哈特虛擬了一個音樂家從惡夢中醒來, 他本來是爲了音樂的真與美去學彈琴，可是在音樂教育的過程裏，卻被各式各樣的符號和格式弄得倒盡了胃口。

洛克哈特又以美術教育爲例來批判數學。他說在一個美術課中, 老師必定會根據學生的特質個別指導, 對學生的繪畫提供差別性的建議。而且, 幾乎每一位美術老師都讀過藝術史, 洞悉這門藝術近三百年的發展。可是誰都知道數學老師不管在差別性指導和對數學史的理解都不及格。

從藝術的角度審視數學的本質, 真與美, 或是檢驗數學教育的缺失—— 忽略學習者的想像力和差別性, 對我而言, 有如晴天霹靂, 以爲很是慚愧。

長久以來, 數學老師必須面對學習方的質疑, 到底學數學有什麼用? 數學老師也竭盡所能解釋數學是多麼有用。可是因爲科技的進步, 基礎數學的用處全都隱藏在高科技的底層, 表面上徹底看不到。例如: 三角函數之用於測量,徹底被激光測距儀取代,高中教材中全部有關測量的題目都變得十分勉強, 由於與現實生活脫節。

關於這一點, 洛克哈特如何迴應呢? 洛克哈特認爲:

一件事物若是有實際上的用途,並不表示它的本質就是如此。音樂能夠鼓舞軍人上戰場, 但這不是音樂的本質,米開朗基羅爲教堂裝飾,但他心中其實有更崇高的目的。數學應該被看成藝術來教,世俗所謂的「有用」,是真與美天然引起的副產品。貝多芬固然能寫出漂亮的廣告配樂,可是他們學習音樂的動機固然是爲了創造美好的事物。

對於數學的真與美, 洛克哈特舉了兩個例子。

第一個是下面這個圖:

咱們看到\(1+3 = 2^2\), \(1 +3+5 = 3^2\),$ 1 +3+5+7 = 4^2\(,\) 1+3+5 +7+9 = 5^2$, 這圖告訴咱們,連續奇數相加會獲得一個平方數,圖形所展現的是平方數如何分解, 這是平方數的本質, 而圖示的說明則用了最美的方式。

第二個是證實兩直線相交, 對頂角相等:

圖中有M,N 兩條直線, 傳統的證法是看出\(A + C = 180^{\circ}\), 而且\(B + C = 180◦^{\circ}\), 因此A = B, 可是洛克哈特認爲A 是M 和N 而B 是N 和M 的夾角, 這兩個角之相等是「天做之合」，是M 和N相交的本質,其正確性有如3 + 5 = 5 + 3, 是左右對稱, 也是上下對稱。

幾乎全部的人都想問洛克哈特: 你爲何不早點告訴我, 數學這麼好玩? 這麼有趣? 洛克哈特的回答應該是: 首先, 當你仍是一個很小、很小的小孩子, 當你嘗試用手指頭計算天天吃的糖果的時候, 你就是一個洛克哈特心中的數學家——嘗試用數學來探索周遭有趣的問題。可是, 當你掉到了一些「數學老師」所佈下的天羅地網時, 數學的真與美漸漸流失, 你必須背誦\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

可是殊不知道這麼難看的公式是從何而來。你要怪誰?你的數學老師可能像你同樣, 歷來未曾領悟過數學的真與美。而且, 在一種武斷而壓制的教學中, 老師們僅有的「善」也喪失了, 因而, 他會說「你怎麼這麼笨, 連$\log 2 = 0.3010 $都不會?」 可是, 老師, 你能夠告訴我爲何$10^{0.3010} = 2 $呢? 由於無知而失去了真, 由於庸俗而失去了美, 又由於獨斷而失去了善, 這就是如今數學教育的現場。

我所以推薦《嘆息》給選我《數學思想通識課》的同窗,一位文組的同窗讀後寫了份感想,我轉載一些與你們分享:

我很是討厭數學,討厭到甚至是隻要一講到「數學」兩個字,就會開始掉眼淚。可是這本書,卻讓我能敞開心房, 去接受數學。原來, 三角形面積公式: 底乘高除以二,居然只是這麼簡單的概念;原來,半圓裏的三角形,它的頂點不管在圓周的哪裏, 都是直角,也是如此易懂的概念!之前我看到那些證實、公式,總認爲他們是妖魔鬼怪,原來他們也能夠這麼純粹、充滿創意!

這本書, 能夠說是數學教育的烏托邦。雖然我也知道,這套教育理念要實現,可能真的有它的難度存在。可是我仍但願,這樣的想法可以在臺灣的教育界流行, 讓數學老師發現僵化的數學教育並不可行。目前的方法——背誦大量公式、做大量困難的習題,只會讓學生更討厭數學、更不肯意敞開心胸去接納數學。若老師能重視帶領學生思考問題的過程, 纔可能引起學生學習的興趣。

其實閱讀這本書, 是讓人難過的。由於想到本身的青春歲月,就這樣由於不適合的教育方式,而沒法好好的發揮本身的想法、沒法盡情揮灑創意。把數學只是變成冷冰冰而死板的公式。最終, 沒法在這樣的體制下存活的腦殼,只能選擇關機、放棄。
本來, 在高中畢業以後,我就發誓這輩子不再和數學產生任何瓜葛。可是在閱讀完這本書後, 我改觀了!數學應該是一個好玩的遊戲,做數學不須要上課或讀書, 只須要充滿想像力,對世界充滿好奇心。將來,我想我會從新面對數學, 不會再認爲數學差是由於本身太笨了!

親愛的讀者: 這位同窗並無誇大其辭——數學教育真是積重難返,苦海無邊啊!