淺談[0,1]區間內的n個隨機實數變量中增長偏序關係類題目的解法

淺談[0,1]區間內的n個隨機實數變量中增長偏序關係類題目的解法

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衆所周知，把[0,1]區間內的n個隨機、相互獨立的實數變量\(x_i\)之間的大小關係寫成一個排列\(\{p_i\}\),使得\(\forall i<n, x_{p_i} < x_{p_{i+1}}\)，那麼有一個結論是全部的排列都是等機率出現的，這徹底不難理解，由於全部的變量都是能夠輪換的。
可是，題目顯然不會這麼簡單，有些題目會給必定的條件限制，例如強制一些偏序關係\(p_u<p_v\)，對於這種狀況，通常要求給定的偏序擁有特殊性質（例如一顆森林）才能作，而且能夠經過常規的組合方法獲得(對於森林的狀況，合法的機率是\(\prod_{i} \frac 1 {i的子樹大小}\))。可是對於這類問題的一些擴展，傳統的組合方法便顯得十分複雜，須要更加簡潔，適用性更廣的代數方法———對這些變量進行積分以獲得答案。

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題面

這個題目也是求一個排列，而且求知足某種排列的方案數。
注意到題目中要求的剛好k個極大的數的機率不太好算，考慮容斥掉這一條件。
咱們強制k個極大的數，剩下的數沒有限制，那麼對於一種有l個極大數的方案，顯然咱們會算\(\binom l k\)次，直接二項式反演便可。
如今問題變成了如何算強制k個極大數的方案數。極大數這個概念較爲複雜，咱們嘗試着將其變爲簡單的偏序關係。首先先枚舉k個極大數，而且肯定好這k個極大數之間的偏序關係，而後根據極大數的定義咱們能夠獲得某個極大數與其餘數的偏序關係。不難發現這個偏序關係本質上是一條鏈套一堆菊花，那麼咱們能夠很方便的維護這個偏序關係的貢獻。

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題面
對於此題，咱們至關於枚舉一個合法抽卡順序，根據這個抽卡順序來計算機率。
這個順序與排列有點像，惟一的不一樣是這個機率的計算是加權的，即若抽卡順序的排列是\(\{p_i\}\),那麼對答案的貢獻是\(\prod_{i=1}^n {w_{p_i} \over \sum_{j=i}^n w_{p_j}}\)。
一種方法是強行轉成與排列相似的問題，把問題轉化成有n種顏色，每種顏色有\(w_i\)個不一樣的球，令某種顏色的第一個球的位置爲\(T_i\),\(T_i\)須要知足某種偏序關係(基圖爲樹)；或者是倒着從大到小自底向上地考慮抽卡順序。這兩種方法都須要用到容斥，緣由是偏序關係並不構成一個外向樹，因此沒法直接算。可是下面提到的積分法就不須要考慮這麼多，這種大一統的思想利用隨機變量顯得無腦卻十分有效。

咱們令\(g_1(x)=1,g_2(x)=2(1-x),g_3(x)=3(1-x)^2\)
答案便爲\[\int_{0}^1 g_{w_1}(x_1) {\rm d} x_1 \int_{0}^1 g_{w_2} {\rm d} x_2......\int_{0}^1 g_{w_n}(x_n) {\rm d} x_n \prod [x_{u_i} < x_{v_i}]\]

只須要證
\[\int_{0}^1 g_{w_1}(x_1) {\rm d} x_1 \int_{0}^1 g_{w_2} {\rm d} x_2......\int_{0}^1 g_{w_n}(x_n) {\rm d} x_n \prod_{i=1}^{n-1} [x_{p_i}<x_{p_{i+1}}] = \prod_{i=1}^n {w_{p_i} \over \sum_{j=i}^n w_{p_j}}\]
能夠輕鬆用概括證實。
咱們任選一點爲根，直接對答案的式子自底向上的進行積分便可。
題目中\(w_i=j\)的機率爲\(p_{ij}\),這樣的話咱們直接令i的函數\(f_i(x)=\sum_{j=1}^3 p_{ij}g_j(x)\)便可。