圖的基礎知識（1、概念）

圖G是由一個頂點集和一個邊集構成的數據結構

G=(V,E)

其中

V是由頂點組成的一個非空有限集合：{V0, V1, V2 ... Vn-1}

E是由V中頂點的對偶構成的有限集合：{(V0, V1), (V3, V4) ... }，E若是爲空，則圖當中只有頂點而沒有邊

邊有2種狀況，有向和無向

若是邊是無向的，(Vi, Vj) = (Vj, Vi)，該圖稱爲無向圖

若是邊是有向的，<Vi, Vj> != (Vj, Vi)，該圖稱爲有向圖，這個時候，邊稱爲弧，<Vi, Vj>當中Vi稱爲弧尾，Vj稱爲弧頭

 

鄰接點

無向圖中，若是存在一條邊(Vi, Vj)，則頂點Vi和Vj互爲鄰接點

有向圖中，若是存在一條弧<Vi, Vj>，能夠認爲是Vi鄰接到Vj，Vj鄰接自Vi，Vi和Vj互爲鄰接點

 

頂點的度、入度和出度

無向圖中，與頂點V相連的邊的個數，稱爲頂點的度，記作D(V)

有向圖中，頂點V的度又分爲出度和入度2個部分：

以頂點V爲終點的弧的個數，稱爲V的入度，記作ID(V)

以頂點V爲起點的弧的個數，稱爲V的出度，記作OD(V)

而D(V) = ID(V) + OD(V)

不管是有向圖仍是無向圖，一個圖的定點數n，邊（弧）數e和每一個頂點的度Di之間知足如下關係式：

邊（弧）數e = 全部頂點度之和 / 2   

 

徹底圖、稠密圖和稀疏圖

若是圖G爲無向圖，任意兩個頂點之間都有一條邊，則G稱爲無向徹底圖

若是有一個有n個頂點的無向徹底圖，則它每一個頂點的度數應該都=n-1，那麼它的各個頂點度數之和應該是n*(n-1)，它的邊數應該就是n*(n-1)/2，這裏其實就是一個組合問題

若是圖G爲有向圖，任意兩個頂點之間都有二條弧，則G稱爲有向徹底圖

有向徹底圖的弧數應該是n*(n-1)，這裏其實就是一個排列問題。

 

若是一個圖的邊數接近徹底圖，稱之爲稠密圖

若是一個圖的邊數不多，稱之爲稀疏圖

 

子圖

如今有2個圖 G=(V, E), G1=(V1, E1)，若是V1是V的子集，E1是E的子集，則G1是G的子圖。

 

路徑、迴路和路徑長度

在無向圖G當中，若是存在一個頂點序列{V1, V2, V3, V4, V5, V6}，而(V1, V2), (V2, V3), (V3, V4), (V4, V5), (V5, V6)均爲圖G的邊，那麼這個頂點序列，稱爲V1到V6的路徑，若是圖G是有向的，則路徑是有向的。

路徑長度=路徑當中邊或者弧的個數

若是一個路徑當中，不存在重複頂點，稱爲簡單路徑

若是一個路徑當中，起點=終點，稱爲迴路或環

除了起點和終點相同外，沒有其餘的重複頂點，稱爲簡單迴路或簡單環

 

連通、連通份量和連通圖、生成樹

無向圖G當中

若是頂點Vi到頂點Vj之間，至少有一條路徑，則成Vi和Vj是連通的。

若是圖中任意兩個頂點都連通，稱爲連通圖，不然，稱爲非連通圖

非連通途中，任意一個極大連通子圖，稱爲它的一個連通份量，

在連通圖當中，連通份量只有一個，即其自身。而非連通圖有多個連通份量。

在一個連通圖當中，包含所有頂點的極小連通子圖，稱爲該連通圖的生成樹。

 

強連通、強連通份量和強連通圖

有向圖G當中

2個頂點Vi和Vj，若是既存在從Vi到Vj的路徑，也存在從Vj到Vi的路徑，則成Vi和Vj之間是強連通的。

若是途中，任意兩個頂點都是強連通的，則圖G稱爲強連通圖，不然稱爲非強連通圖

在非強連通圖中，任意一個極大強連通子圖，稱爲它的一個強連通份量

任意一個強連通圖只有一個強連通份量，即其自身，而非強連通圖，有多個強連通份量。

 

權、帶權圖、有向網和無向網

在圖當中，每一條邊（弧）能夠帶一個數值，稱爲權

每條邊都有權的無向圖稱爲帶權無向圖，也成爲無向網

每條弧都有權的有向圖稱爲帶權有向圖，也成爲有向網