博弈論(六)——#10248. 「一本通 6.7 練習 5」取石子游戲

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解題思路
神仙題目，迷通常的狀態轉移，看了yyb大佬的題解，纔算明白一點。咱們定義L[i][j]表示區間[i,j]左邊(即i-1位)加上一堆石子L[i][j]，能使先手必敗，R[i][j]表示區間[i,j]右邊(即j+1位)加上一堆石子R[i][j]，能使先手必敗。首先，邊界L[i][i]，R[i][i]確定是a[i] (Nim博弈)。而後最後只要判斷a[1]是否等於L[2][n]就能判斷先手必勝仍是必敗了。
再看狀態轉移，L[i][j]由L[i][j-1]與R[i][j-1]轉移過來，R[i][j]由R[i+1][j]，L[i+1][j]轉移過來，先看L[i][j]，咱們設L=L[i][j-1]，R[i][j-1]，x=a[j]。

1. R=x，L[i][j]=0，由於此時已是必敗態了，沒必要再添了。
2. x<L&&x<R，L[i][j]=x，此時兩側石子一致，不管先手怎麼去，後手只要模仿先手在另外一側取相同的數量，這樣就能保證先手先取完，此時左側或右側確定有一堆沒取完，此時能夠等價的認爲，當前是先手從L或R取了必定數量的石子轉移過來的，此時不管後手怎麼取都是必勝的。
3. L<x<R，L[i][j]=x+1，若先手在左側取，剩下石子爲rest。rest=0，等價於先手在R的狀態下，在右側取了必定數量的石子轉移過來。rest<L，後手只要將右側石頭取到與rest相同，就能夠轉移到第2種狀況。rest=L，後手將右側石子取完，就轉移到L。rest>L，後手只要將右手石子取到rest-1即又回到當前狀況。若先手在右側取，當rest=0，將左側取出L，便可轉移到L。當rest<L，同上，取左側，能夠轉移到第2種狀況。rest>=L，後手經過在左側或右側，使得左側=右側+1，又回到當前狀況。
4. R<x<L，L[i][j]=x-1，與第三種狀況相似，能夠當作互換一下左右兩側。
5. 當x>L&&x>R，L[i][j]=x。不管先手怎麼取，後手均可以轉移到以前和當前的狀態。

R[i][j]和L[i][j]是對稱的，相似的求解便可。

AC代碼

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
int a[maxn],L[maxn][maxn],R[maxn][maxn];
int T,n;
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        L[i][i]=R[i][i]=a[i];
        for(int len=2;len<=n;++len)
        for(int i=1,j=i+len-1;j<=n;++i,++j)
        {
            int x=a[j],l=L[i][j-1],r=R[i][j-1];
            if(x==r)
            L[i][j]=0;
            else
            if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))
            L[i][j]=x;
            else
            if(r<x&&x<l)
            L[i][j]=x-1;
            else
            L[i][j]=x+1;
            x=a[i],l=L[i+1][j],r=R[i+1][j];
            if(x==1)
            R[i][j]=0;
            else
            if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))
            R[i][j]=x;
            else
            if(r<x&&x<l)
            R[i][j]=x+1;
            else
            R[i][j]=x-1;
        }
        puts(a[1]==L[2][n]?"0":"1");
    }
    return 0;
}