BZOJ3925: [Zjoi2015]地震後的幻想鄉【機率指望+狀壓DP】

Description

傲嬌少女幽香是一個很萌很萌的妹子，並且她很是很是地有愛心，很喜歡爲幻想鄉的人們作一些本身力所能及的事情來幫助他們。 這不，幻想鄉忽然發生了地震，全部的道路都崩塌了。如今的首要任務是儘快讓幻想鄉的交通體系從新創建起來。幻想鄉一共有n個地方，那麼最快的方法固然是修復n-1條道路將這n個地方都鏈接起來。 幻想鄉這n個地方原本是連通的，一共有m條邊。如今這m條邊因爲地震的關係，所有都毀壞掉了。每條邊都有一個修復它須要花費的時間，第i條邊所須要的時間爲ei。地震發生之後，因爲幽香是一位人生經驗豐富，見得多了的長者，她根據之前的經驗，知道每次地震之後，每一個ei會是一個0到1之間均勻分佈的隨機實數。而且全部ei都是徹底獨立的。 如今幽香要出發去幫忙修復道路了，她可使用一個神奇的大魔法，可以選擇須要的那n-1條邊，同時開始修復，那麼修復完成的時間就是這n-1條邊的ei的最大值。固然幽香會先使用一個更加神奇的大魔法來觀察出每條邊ei的值，而後再選擇完成時間最小的方案。 幽香在走以前，她想知道修復完成的時間的指望是多少呢？

Input

第一行兩個數n,m，表示地方的數量和邊的數量。其中點從1到n標號。

接下來m行，每行兩個數a,b，表示點a和點b之間原來有一條邊。

這個圖不會有重邊和自環。

Output

一行輸出答案，四捨五入保留6位小數。

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT

提示：

（如下內容與題意無關，對於解題也不是必要的。）

對於n個[0,1]之間的隨機變量x1,x2,...,xn，第k小的那個的指望值是k/(n+1)。

樣例解釋：

對於第一個樣例，因爲只有4條邊，幽香顯然只能選擇這4條，那麼答案就是4條邊的ei中最大的數的指望，由提示中的內容，可知答案爲0.8。

數據範圍：

對於全部數據：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。

對於15%的數據：n<=3。

另有15%的數據：n<=10, m=n。

另有10%的數據：n<=10, m=n(n-1)/2。

另有20%的數據：n<=5。

另有20%的數據：n<=8。

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思路

首先考慮怎麼統計答案

由於顯然不能夠直接枚舉邊來統計貢獻

因此能夠考慮算出從小到大加入j條邊的時候剛好聯通的方案數(由於方案數/組合數=機率)

設\(f_{i,j}\)表示點集是i連了j條邊不連通的方案數

\(g_{i,j}\)表示點集是i連了j條邊聯通的方案數

很顯然\(f_{i,j}+g_{i,j}=C_{w}^j\)

這個時候w是點集i內部的全部邊的個數

而後咱們爲了避免重複計算能夠枚舉包含一個點的部分進行dp，好比爲了方便取lowbit

而後設當前全集是s，枚舉的子集是sub(包含lowbit)

那麼有轉移\(f_{s,i+j}=\sum_{sub\in s}g_{sub,i}*C_{w_{s\oplus sub}}^{j}\)

---

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long double ld;

const int N = (1 << 10) + 10;
const int M = 110;

int n, m, cnt[N], siz[N];
ld c[M][M], f[N][M], g[N][M];

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &m);
  int up = 1 << n;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); 
    for (int s = 0; s < up; s++) {
      if (!((s >> (u - 1)) & 1)) continue;
      if (!((s >> (v - 1)) & 1)) continue;
      ++cnt[s];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      if ((i >> (j - 1)) & 1) ++siz[i];    
    }
  }
  for (int i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
    }
  }
  for (int s = 1; s < up; s++) {
    if (siz[s] == 1) {
      g[s][0] = 1;
      continue;
    }
    int cur = s & (-s);
    for (int sub = (s - 1) & s; sub; sub = (sub - 1) & s) if (sub & cur) {
      for (int i = 0; i <= cnt[sub]; i++) {
        for (int j = 0; j <= cnt[s ^ sub]; j++) {
          f[s][i + j] += g[sub][i] * c[cnt[s ^ sub]][j]; 
        }
      }
    }
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
      g[s][i] = c[cnt[s]][i] - f[s][i];
    }
  }
  ld ans = 0.0;
  for (int i = 0; i <= m; i++) {
    ans += f[up - 1][i] / c[cnt[up - 1]][i];
  }
  ans /= m + 1;
  printf("%.6Lf", ans);
  return 0;
}