前言
相關概念
元素與集合markdown
一、集合元素的性質：肯定性、互異性好比方程\(x^2\)\(-\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\)在初中咱們認爲有兩個相同解，而不認爲只有一個解;若是其解集用集合刻畫，則必須寫成\(\{1\}\)，是個單元素集合，而不能寫成\(\{1,1\}\)；\(\quad\)、無序性ide
二、集合與元素的關係：\(a\in\{a\}\)，\(b\notin\{a\}\)，函數
三、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法；數集的表示方法還要添加字母法、區間法。工具
注意區分\(\varnothing\)、\(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\)，其中集合\(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\)都是單元素集合，\(\varnothing\)裏面沒有一個元素。post
如下寫法都是對的：\(\varnothing\in\{\varnothing\}\)，空集是以空集爲元素的集合的元素，在特定條件下是成立的；學習
\(\varnothing\subseteq\{\varnothing\}\)，空集是任何集合的子集；\(\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}\)，空集是任何非空集合的真子集；spa
四、常見數集的字母表示及其關係：\(N^*(N_+)\subsetneqq N\subsetneqq Z \subsetneqq Q \subsetneqq R \subsetneqq C\)3d
集合關係blog
子集：\(x\in A\Rightarrow x\in B\)，則\(A\subseteq B\)。ip
真子集：\(A\subseteq B，\exists x\in B，x\notin A\)，則\(A \subsetneqq B\)
相等：\(A\subseteq B，B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B\)
空集：\(\forall x\notin \varnothing，\varnothing\subseteq A\)
集合運算
交集：\(\{x\mid x\in A且x\in B\}\)；
並集：\(\{x\mid x\in A或x\in B\}\)；
補集：\(\{x\mid x\in U且x\notin A\}=C_UA\)；
集合性質
並集的性質：\(A\cup\varnothing=A\);\(A\cup A=A\);\(A\cup B=B\cup A\);\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\)；
交集的性質：\(A\cap\varnothing=\varnothing\);\(A\cap A=A\);\(A\cap B=B\cap A\);\(B\subseteq A\Longleftrightarrow A\cap B=B\)；
補集的性質：\(A\cup(C_UA)=U\)；\(A\cap(C_UA)=\varnothing\)；\(C_U(C_UA)=A\)；\(C_U(A\cup B)=(C_UA)\cap(C_UB)\)；\(C_U(A\cap B)=(C_UA)\cup(C_UB)\)；
集合分類
咱們根據集合的元素的特色，將其分爲數集、點集、式集、圖形集、向量集等等，這樣咱們在區分集合時就變得很容易；好比，
集合\(A=\{ x\mid y=x^2+3x-2\}\)，實質是數集，就是函數\(y=x^2+3x-2\)的定義域；
集合\(B=\{y\mid y=x^2+3x-2\}\)，實質是數集，就是函數\(y=x^2+3x-2\)的值域；
集合\(C=\{(x，y)\mid y=x^2+3x-2\}\)，實質是點集區分點集和數集，主要看錶明元素，如果數\(\;x\;\)[每每對應方程的根，不等式的解集，或函數的定義域]或\(\;y\;\)[每每對應值域]則爲數集，如果有序數對則爲點集；\(\quad\)，就是函數\(y=x^2+3x-2\)圖像上的全部點構成的點集合；此時若是求\(A\cap C=\varnothing\)；
集合\(D=\{x^2，x^2+2y-1，t^3+1\}\)，實質是代數式集合，簡稱式集；
集合\(E=\{\)三角形\(\}\)，實質是圖形集合；
集合\(F=\{\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}，\vec{d}\}\)，實質是向量集合；
固然，集合還能夠根據其元素的有限與無限分爲有限集和無限集。
注意區別刻畫集合的描述法和列舉法
集合\(A=\{x\in N\mid x\leq \sqrt{10}\}\)，這是用描述法表達的，固然還能夠簡化爲用列舉法表示，好比\(A\)\(=\)\(\{x\)\(\mid\)\(x\)\(=\)\(0\)\(，\)\(1\)\(，\)\(2\)\(，\)\(3\)\(\}\)，這時候咱們甚至能夠寫的更簡單，好比\(A=\{0，1，2，3\}\)。
經常使用結論
含有\(n\)個元素的集合\(\{a_1，a_2，\cdots，a_n\}\)，其全部的子集個數有\(2^n\)個。
解釋：從含有\(n\)個元素的集合中分別取\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(\cdots\)、\(n\)個元素，則構成的集合的子集的個數分別爲\(C_n^0\)、\(C_n^1\)、\(C_n^2\)、\(\cdots\)、\(C_n^n\)個，故全部的子集的個數有\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n\)；
全部的真子集個數有\(2^n-1\)個，即去掉\(C_n^n\)的那一個；全部的非空子集個數有\(2^n-1\)個。即去掉\(C_n^0\)的那一個；全部的非空真子集個數有\(2^n-2\)個。即去掉\(C_n^0=1\)和\(C_n^n=1\)那兩個。
- 二項式定理\((a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^na^0b^n\)；
當令\(a=b=1\)時，上式即爲\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=(1+1)^n=2^n\)；
若是\(\{1，2\}\subseteq M\subseteq \{1，2，3，4，5\}\)，則知足題意的集合\(M\)的個數爲幾個？
分析：由題意可知，集合\(M\)的元素最少有兩個，應該是用元素\(1\)，\(2\)保底，
在此基礎上，再從\(3\)，\(4\)，\(5\)三個元素中選取部分元素添加進去便可，
添加的元素最少應該是\(0\)個，最可能是三個，故本題目等價於集合\(\{3，4，5\}\)的全部子集的個數，故應該是\(2^3=8\)個；
爲便於理解，列舉以下：\(\{1，2\}\)、\(\{1，2，3\}\)、\(\{1，2，4\}\)、\(\{1，2，5\}\)、\(\{1，2，3，4\}\)、\(\{1，2，3，5\}\)、\(\{1，2，4，5\}\)、\(\{1，2，3，4，5\}\)；
解後反思：注意符號語言向文字語言的轉化。
自定義概念
集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，因爲其左右端點是固定不變化的，故咱們能夠形象的稱其爲定集；集合\(B\)\(=\)\(\{\)\(x\)\(\mid\)\(m+1\)\(<\)\(x\)\(<\)\(2m-1\)\(\}\)，其左右端點是隨着\(m\)的取值變化的，故咱們能夠形象的稱其爲動集；這樣兩個集合的關係就可能隨着\(m\)的取值發生變化。
仿二次方程：好比\(ax^2+3x-2=0\)，因爲題目沒有告訴\(a\)的取值，那麼它就多是一次方程\(3x-2=0\)，也多是二次方程\(ax^2+3x-2=0(a\neq 0)\)，故當咱們看到仿二次方程時，咱們就應該想到分類討論，因爲思惟定勢的緣故，最容易漏掉\(a=0\)的情形；
以此類推，\(y=ax^2+3x-2\)就是仿二次函數，包含了一次函數和二次函數兩種情形；\(ax^2+3x-2\ge 0\)就是仿二次不等式，包含了一次不等式和二次不等式兩種情形；很顯然題目中出現這個就是想看看，你的思惟是否嚴密。
【北師大必修一\(P_6\) \(B\)組第1題】已知集合\(A=\{x\in R\mid ax^2+2x+1=0，a\in R\}\)中只有一個元素(\(A\)也可叫做單元素集合)，求\(a\)的值，並求出這個元素；
分析：因爲\(ax^2+2x+1=0\)，\(a\in R\)，則所給的方程爲仿二次方程，故須要針對\(a\)分類討論，
①當\(a=0\)時，方程變化爲\(2x+1=0\)，則解集爲單元素集合\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，知足題意；
②當\(a\neq 0\)時，方程\(ax^2+2x+1=0\)爲二次方程，又要求其解集爲單元素集合，則必須\(\Delta=0\)，即\(2^2\)\(-\)\(4a\)\(=\)\(0\)，即\(a=1\)，此時方程變爲\(x^2\)\(+\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\)，解集爲單元素集合\(\{-1\}\)；
加深認識
從新認識集合的做用和地位，主動使用集合工具刻畫數學素材
用集合工具來刻畫點集
直線好比\(\{(x，y)\mid 2x-y+1=0\}\)；曲線好比\(\{(x，y)\mid x^2+y^2=4\}=\{(2cos\theta，2sin\theta)\}\)；
好比\(\{(x，y)\mid \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\}=\{(3cos\theta，2sin\theta)\}\)；
交點好比\(\{(x，y)\mid \begin{cases} 2x+y-1=0\\ 3x-y+2=0\end{cases} \}\)；平面區域好比\(\left\{(x，y)\mid \begin{cases}x^2+y^2\leq 4\\ x\ge 0\\ y\ge0\end{cases}\right\}\)；
用集合工具來刻畫函數的性質
定義域好比\(\{x\mid y=x^2-3x-2\}=R\)；
值域好比\(\{y\mid y=x^2+2\}=[2，+\infty)\)；
單調性好比函數\(y=f(x)\)上的任意兩個點\((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\)知足條件，若\(x_1>x_2\)，則必有\(y_1>y_2\)，也即意味着函數是單調遞增的；也就是當\(x_1>x_2\)時，有\(f(x_1)>f(x_2)\)成立；
奇偶性好比函數\(y=f(x)\)上的任意兩個點\((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\)知足條件，若\(x_1+x_2=0\)，則必有\(y_1=y_2\)，也即意味着函數是偶函數；也就是知足\(f(-x)=f(x)\)；
對稱性好比函數\(y=f(x)\)上的任意兩個點\((x_1，y_1)、(x_2，y_2)\)知足條件，若\(x_1+x_2=2\)，則必有\(y_1+y_2=2\)，也即意味着函數是關於點\((1，1)\)對稱的；也就是知足\(f(2-x)+f(x)=2\)；
用集合工具來刻畫數集
方程的根好比\(\{x\mid x^2-3x+2=0\}=\{1，2\}\)；
不等式的解集好比\(\{x\mid x^2-3x+2\leq 0\}=[1，2]\)；
用集合工具來表示其餘的集合
無理數集合好比\(C_RQ\)；
集合的並集\(\{x\mid x=2k，k\in Z\}\cup\{x\mid x=2k+1，k\in Z\}=Z\)
角的集合的並集\(\{x\mid x=2k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\cup\{x\mid x=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}=\{x\mid x=k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\)
題型方法
一、利用集合之間的關係求參數的取值時，解題後要進行檢驗，防止不知足集合元素的肯定性和互異性；
若\(-1\in\{2,a^2-a-1,a^2+1\}\)，則\(a\)=【】
分析：①當\(a^2-a-1=-1\)時，即\(a^2-a=0\)，解得\(a=0\)或\(a=1\)；
當\(a=1\)時，\(\{2,a^2-a-1,a^2+1\}=\{2,-1,2\}\)，與元素的互異性矛盾，捨去；故\(a=0\)
②當\(a^2+1=-1\)時，\(a^2=-2\)，\(a\)無實數解，
由①②可得，\(a=0\)，故選\(B\).
集合\(\{2a,a^2-a\}\)中實數\(a\)的取值範圍爲___________.
分析：由\(a^2-a\neq 2a\)，解得\(a\neq 0\)且\(a\neq 3\).
二、要重視符號語言和文字語言之間的相互轉化。
三、集合的運算問題的經常使用策略：充分利用數軸和韋恩圖，數形結合。
失誤防範
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解題時注意區分兩大關係：一是元素與集合的從屬關係；二是集合與集合的包含關係。
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解答集合題目，認清集合元素的屬性(點集，數集，或其餘)和化簡集合是正確求解的兩大先決條件。
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經常使用韋恩圖示法和數軸圖示法解決集合的交、並、補集運算，利用數軸圖示法時要注意端點的實心或空心。
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要注意這五個關係的等價性：\(A\subseteq B\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cap B=A\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cup B=B\) \(\Longleftrightarrow\) \(C_UB\subseteq C_UA\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cap(C_UB)=\varnothing\)
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題目中出現\(A\subseteq B\)時，經常意味着集合\(A\)有兩種情形：\(A=\varnothing\)和\(A\neq \varnothing\)。
\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cap B=A\)；\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\)；
- 由集合關係求參數的取值範圍時，給定\(A\subseteq B\)和\(A\subsetneqq B\)的求解是有區別的，後者經常須要驗證排除使得\(A=B\)的參數值。
原本針對\(A\subsetneqq B\)列不等式組時，應該分類討論，但咱們以爲太麻煩，經常直接依照\(A\subseteq B\)來列不等式組，最後添加一個口算驗證便可，這樣省事的多。
給定集合\(A=\{x\mid-4<x<1\}\)，\(B=\{x\mid m<x<m+3\}\)，已知\(B\subsetneqq A\)，求參數\(m\)的取值範圍。
分析：由\(B\subsetneqq A\)，則\(\{x\mid m<x<m+3\}\subsetneqq \{x\mid -4<x<1\}\)，
由題目可先直接獲得\(\left\{\begin{array}{l}{-4\leqslant m}\\{m+3\leqslant 1}\end{array}\right.\)，從而解得\(-4\leqslant m\leqslant -2\)，
而後口算驗證，當\(m=-4\)時，\(A=(-4,1)\)，\(B=(-4,-1)\)，知足題意，同理當\(m=-2\)時也知足題意，
故\(m\)的取值範圍爲\([-4，-2]\)。
- 涉及兩個集合的關係時，端點值可否取到是個高頻易錯點。如已知\(B \subseteq A\)，
①當\(A=[-3,1]\)，\(B=[1+2m,m+1]\)時，應該獲得\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
②當\(A=(-3,1)\)，\(B=(1+2m,m+1)\)時，應該獲得\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
③當\(A=[-3,1]\)，\(B=(1+2m,m+1)\)時，應該獲得\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
④當\(A=(-3,1)\)，\(B=[1+2m,m+1]\)時，應該獲得\(\left\{\begin{array}{l}{-3< 1+2m}\\{m+1<1}\end{array}\right.\)，即\(m\in (-2,0)\);