N皇后問題暴力解和回溯解問題分析和算法實現-leetcode困難難度

n皇后問題是經典的回溯解題的案例，回溯通常用在有多個解的算法中，回溯的核心是窮舉，通常經過必要的減枝提升效率(減小重複計算等)，獲得一個解後，把當前解進行保存，而後將當前解標記爲未解決，繼續嘗試下一個可能知足條件的解，即回溯

窮舉解有利於理解問題的本質，回溯解提升解題效率

題目參考：leetcode-cn.com/problems/n-…

能夠看到n皇后是leetcode上一道難度爲困難的題

基本事實

1. 皇后的個數和行數相等

2. 每行一定有且只有一個皇后, 若是用row1, row2表示兩個皇后所處的行，一定存在row1 != row2

3. 兩個皇后一定存在不在同一條斜線上, [row1, col1], [row2, col2]，

   一定存在 | row1 - row2 | != | col1 -col2 |

   或者 左右對角線分開判斷 左對角線 row1 - col1 == row2 - col2 右對角線 row1 + col1 = row2 + col2

4. 兩個皇后一定不在同一列上，一定存在col1 != col2

5. 要找到全部皇后的集合，一定在找到知足的一個皇后後，不能停，須要繼續查找下一個皇后

知足以上條件，便可求得n皇后的解

回溯解

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath> 

using namespace std;

#define QUEUE_NUM 8

int usedRowAndCol[QUEUE_NUM + 1] = {0}; // 已經使用的行和列, 0表示未使用，有值表示列值, 鍵是行 值是列

vector< vector<string> > result; // 存儲n皇后全部可能結果

void findAQueue(int);
void recordAnswer();
void printAnswer();

void findAQueue(int row) {
	// row這行確定是能夠用的，主要是獲取可用的列，列也有8列，因此進行窮舉, 判斷row行的col列是否可用
	for (int col = 1; col <= QUEUE_NUM; col ++) {
		// 檢查列是否可用 1. 兩個皇后一定不在同一列上，一定存在col1 != col2
		// 2. 兩個皇后一定存在不在同一條斜線上, [row1, col1], [row2, col2]，一定存在 | row1 - col1 | != | row2 -col2 |
		// 判斷當前行的，當前col列在不在對角線上已經佔用了
		bool canPlaceInThisCol = true;
		for (int currentRow = 1; currentRow < row; currentRow ++) {
			// currentRow行的col列用過了
			if (usedRowAndCol[currentRow] == col) {
				canPlaceInThisCol = false;
				break;
			}
			
			// 左對角線有用過了
			if (currentRow - usedRowAndCol[currentRow] == row - col) {
				canPlaceInThisCol = false;
				break;
			}
			// 右對角線是否用過了
			if (currentRow + usedRowAndCol[currentRow] == row + col) {
				canPlaceInThisCol = false;
				break;
			}
		}
		if (canPlaceInThisCol) {
			// 列可用，進行記錄
			usedRowAndCol[row] = col;
			// 找下一行的那列可使用
			if (row < QUEUE_NUM) {
				findAQueue(row + 1);
			}
			if (row == QUEUE_NUM) { // 若是當前是最後一行了，就不用再繼續找了，記錄答案
				recordAnswer();
			}
		}
	}
}

void recordAnswer() {
	vector<string> oneResult;
	for (int i = 1; i <= QUEUE_NUM; i ++) {
		string row(QUEUE_NUM, '.');
		row[usedRowAndCol[i] - 1] = 'Q';
		
		oneResult.push_back(row);
	}
	result.push_back(oneResult);
}

void printAnswer() {
	for (int i = 0; i < result.size(); i ++) {
		for (int j = 0; j < result[i].size(); j ++) {
			cout << result[i][j] << endl;
		}
		cout << "---------sep----------" << endl;
	}
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	findAQueue(1);
	cout << result.size() << endl;
}
複製代碼

這裏爲了提升代碼的可讀性，使用了分別排除左對角線和右對角線的方法排除皇后，也能夠直接使用絕對值方法

把代碼稍做修改填到leetcode上便可

暴力解

排列出全部的組合，挨個判斷每一個組合是否知足n皇后的條件

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define QUEUE_NUM 4

int QUEUE_LIST[QUEUE_NUM];

vector< vector<string> > result; // 存儲n皇后全部可能結果

bool is_ok(int row) {
	if (row == QUEUE_NUM - 1) {
		return true;
	}
	
	int first = QUEUE_LIST[row];
	bool ok = true;

	for (int currentRow = row + 1; currentRow < QUEUE_NUM; currentRow ++) {
		// 不能在同一列
		if (QUEUE_LIST[currentRow] == first) {
			ok = false;
			break;
		}
		// 左對角線有用過了
		if (currentRow - QUEUE_LIST[currentRow] == row - first) {
			ok = false;
			break;
		}
		// 右對角線是否用過了
		if (currentRow + QUEUE_LIST[currentRow] == row + first) {
			ok = false;
			break;
		}
	}
	
	// 檢查 row + 1行和 row + 2 -> QUEUE_NUM行是否知足條件
	if (ok) {
		ok = is_ok(row + 1);
	}
	
	return ok;
}

void recordAnswer() {
	vector<string> oneResult;
	for (int i = 0; i < QUEUE_NUM; i ++) {
		string row(QUEUE_NUM, '.');
		row[QUEUE_LIST[i]] = 'Q';
		
		oneResult.push_back(row);
	}
	result.push_back(oneResult);
}

void printAnswer() {
	for (int i = 0; i < result.size(); i ++) {
		for (int j = 0; j < result[i].size(); j ++) {
			cout << result[i][j] << endl;
		}
		cout << "---------sep----------" << endl;
	}
}

void queue(int row) {
	for (int i = 0; i < QUEUE_NUM; i ++) {
		QUEUE_LIST[row] = i;
		if (row == QUEUE_NUM - 1) {
			// 找到一個組合，進行判斷是否知足8皇后定義
			if (is_ok(0)) {
				// 進行記錄
				recordAnswer();
			}
			continue;
		}
		queue(row + 1);
	}
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	queue(0);
	printAnswer();
}
複製代碼

因爲窮舉解多出了不少無效的組合，lc上直接超時了...，能夠在本地計算機上自行驗證

一些注意的點

暴力解是先求出全部的皇后的組合，而後逐個判斷皇后是否知足位置條件

回溯解就是在求皇后組合是否知足條件時，提早進行判斷，提早剪掉了這部分皇后的組合

回溯法的col, row值從1開始是爲了不usedRowAndCol默認值的0和col, row索引的0衝突，致使的判斷異常

參考資料

1. www.cplusplus.com/reference/c…
2. zh.wikipedia.org/wiki/八皇后問題