[Luogu P3959] 寶藏 (狀壓DP+枚舉子集)

題面

傳送門：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3959

 

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Solution

這道題的是一道很巧妙的狀壓DP題。

首先，看到數據範圍，應該狀壓DP沒錯了。

根據咱們以前狀壓方程的設計經驗，咱們很快就能設計出這樣的方程：

設f[i][j]表示用到第i個元素，當前鏈接狀態爲j的開銷的min

可是咱們很快就會發現，這個方程無法轉移，由於隨着鏈接方案的不一樣，新插入的點的K值會不一樣。

 

怎麼辦呢？

這時候咱們能夠從新設計一個巧妙的的狀態。

從新閱讀題目，咱們能夠發現題目中的K值能夠理解爲距離初始點的「層數」，下面這幅圖能夠簡單的表示出來：

那麼，咱們能夠考慮這樣子設狀態：

設f[i][j]表示到第i層，總共取了的點的狀態爲j。

這樣的話，轉移就能夠取出來了：

f[i][j]=MIN(f[i-1][k]+trans[k][j]*(i-1)) (k爲j的子集，即有可能轉移到j的狀態) (trans[k][j]表示從狀態k轉移到狀態j的最小花費的路程)

trans須要暴力預處理出來。

怎麼枚舉子集呢？

若是2^n枚舉就會T掉，由於咱們枚舉到了非子集的狀況。

這裏就引出了枚舉子集的小技巧

對於狀態x，它的子集爲：p=x,p!=0,p=(p-1)&x (至於怎麼證實，這裏就不給出了，在草稿上推一推就會發現裏面的精妙了)

答案就是min(f[i][2^n-1])，初始化f[1][2^(i-1)]=0 (i∈[1,n])

 

就醬，這道題就被咱們切掉啦φ(>ω<*) 

 

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Code

//Luogu P3959 寶藏 
//Sep,5th,2018
//狀壓DP+枚舉子集小技巧
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=12+2;
const int M=1<<N;
int n,m,dis[N][N],trans[M][M],POW[N];
long long f[N][M];
int main()
{
    n=read(),m=read();
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int s=read(),t=read(),v=read();
        if(dis[s][t]>v)
            dis[s][t]=dis[t][s]=v;
    }
    
    m=(1<<n);
    POW[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        POW[i]=POW[i-1]*2;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=i;j!=0;j=(j-1)&i)
        {
            bool OK=true;
            int temp=i^j;
            for(int k=n-1;k>=0;k--)
                if(temp>=POW[k])
                {
                    int tmin=0x3f3f3f3f;
                    for(int o=1;o<=n;o++)
                        if((POW[o-1]&j)==POW[o-1])
                            tmin=min(tmin,dis[o][k+1]);
                    if(tmin==0x3f3f3f3f)
                    {
                        OK=false;
                        break;
                    }
                    trans[j][i]+=tmin;
                    temp-=POW[k];
                }
            if(OK==false)
                trans[j][i]=0x3f3f3f3f;
        }
        
    /*cerr<<endl<<endl;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(trans[i][j]!=0x3f3f3f3f and trans[i][j]!=0)
                cerr<<i<<" "<<j<<" "<<trans[i][j]<<endl;*/
    
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[1][POW[i-1]]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=j;k!=0;k=(k-1)&j)
                if(trans[k][j]!=0x3f3f3f3f)
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+(i-1)*trans[k][j]);
    
    long long ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(ans,f[i][m-1]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}