最長遞增子序列

問題

給定一個長度爲N的數組，找出一個最長的單調自增子序列（不必定連續，可是順序不能亂）。例如：給定一個長度爲6的數組A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，則其最長的單調遞增子序列爲{5，6，7，8}，長度爲4.

解法1：最長公共子序列法

這個問題能夠轉換爲最長公共子序列問題。如例子中的數組A{5，6， 7， 1， 2， 8}，則咱們排序該數組獲得數組A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，而後找出數組A和A’的最長公共子序列便可。顯然這裏最長公共子序列爲{5, 6, 7, 8}，也就是原數組A最長遞增子序列。最長公共子序列算法在算法導論上有詳細講解，這裏簡略說下思想。

假定兩個序列爲X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn)，並設Z={z1, z2, ..., zk}爲X和Y的任意一個LCS。

1）若是xm = yn，則zk = xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一個LCS。

2）若是xm != yn, 則zk != xm蘊含Z是Xm-1和Y得一個LCS。

3）若是xm != yn, 則zk != yn蘊含Z是X和Yn-1的一個LCS。

解法2：動態規劃法（時間複雜度O(N^2))

設長度爲N的數組爲{a0，a1, a2, ...an-1)，則假定以aj結尾的數組序列的最長遞增子序列長度爲L(j)，則L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是說，咱們須要遍歷在j以前的全部位置i(從0到j-1)，找出知足條件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即爲 L(j)的值。最後，咱們遍歷全部的L(j)（從0到N-1），找出最大值即爲最大遞增子序列。時間複雜度爲O(N^2)。

例如給定的數組爲{5，6，7，1，2，8}，則L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。因此該數組最長遞增子序列長度爲4，序列爲{5，6，7，8}。算法代碼以下：

#include <iostream>
using namespace std;
#define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //數組長度
int lis(int arr[], int len)
{
    int longest[len];
    for (int i=0; i<len; i++)
        longest[i] = 1;

    for (int j=1; j<len; j++) {
        for (int i=0; i<j; i++) {
            if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1這個條件，不能省略。
                longest[j] = longest[i] + 1; //計算以arr[j]結尾的序列的最長遞增子序列長度
            }
        }
    }

    int max = 0;
    for (int j=0; j<len; j++) {
        cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;
        if (longest[j] > max) max = longest[j];  //從longest[j]中找出最大值
    }
    return max;
}

int main()
{
    int arr[] = {1, 4, 5, 6, 2, 3, 8}; //測試數組
    int ret = lis(arr, len(arr));
    cout << "max increment substring len=" << ret << endl;
    return 0;
}

解法3：O(NlgN）算法

假設存在一個序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，能夠看出來它的LIS長度爲5。
下面一步一步試着找出它。
咱們定義一個序列B，而後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，咱們用一個變量Len來記錄如今最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裏，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度爲1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

而後，把d[2]有序地放到B裏，令B[1] = 1，就是說長度爲1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，因此令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度爲2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，由於1小於3，長度爲1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度爲2的LIS最小末尾是3，因而能夠把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，由於B[2] = 3, 而6在3後面，因而很容易能夠推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，仍是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，因而咱們就能夠把6替換掉，獲得B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。因而B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，獲得B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，因此咱們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

因而咱們知道了LIS的長度爲5。

注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，咱們就能夠一個一個地插入數據。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組數據沒有什麼意義，可是若是後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就能夠把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度爲6。

而後應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，並且是進行替換而不須要挪動——也就是說，咱們可使用二分查找，將每個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~因而算法的時間複雜度就下降到了O(NlogN)～！

代碼以下（代碼中的數組B從位置0開始存數據）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define N 9 //數組元素個數
int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原數組
int B[N]; //在動態規劃中使用的數組,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋
int len; //用於標示B數組中的元素個數

int LIS(int *array, int n); //計算最長遞增子序列的長度,計算B數組的元素,array[]循環完一遍後,B的長度len即爲所求
int BiSearch(int *b, int len, int w); //作了修改的二分搜索算法

int main()
{
    printf("LIS: %d\n", LIS(array, N));

    int i;
    for(i=0; i<len; ++i)
    {
        printf("B[%d]=%d\n", i, B[i]);
    }

    return 0;
}

int LIS(int *array, int n)
{
    len = 1;
    B[0] = array[0];
    int i, pos = 0;

    for(i=1; i<n; ++i)
    {
        if(array[i] > B[len-1]) //若是大於B中最大的元素，則直接插入到B數組末尾
        {
            B[len] = array[i];
            ++len;
        }
        else
        {
            pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找須要插入的位置
            B[pos] = array[i];
        }
    }

    return len;
}

//修改的二分查找算法，返回數組元素須要插入的位置。
int BiSearch(int *b, int len, int w)
{
    int left = 0, right = len - 1;
    int mid;
    while (left <= right)
    {
        mid = left + (right-left)/2;
        if (b[mid] > w)
            right = mid - 1;
        else if (b[mid] < w)
            left = mid + 1;
        else    //找到了該元素，則直接返回
            return mid;
    }
    return left;//數組b中不存在該元素，則返回該元素應該插入的位置
}