樹的基本知識和二叉樹的性質

1. 樹的基本術語

1.1 結點的度和樹的度

每一個結點具備的子樹數或者說後繼結點數被定義爲該結點的度。

樹中全部結點的度的最大值被定義爲該樹的度。

1.2 分支結點和葉子結點

在一棵樹中，度等於0的結點稱做葉子結點或終端結點，度大於0的結點稱做分支結點或非終端結點。

1.3 孩子結點、雙親結點和兄弟結點

在一棵樹中，每一個結點的子樹的根，或者說每一個結點的後繼，被習慣地稱爲該結點的孩子、兒子或子女，相應地，該結點被稱爲孩子結點的雙親、父親或母親。具備同一雙親的孩子互稱兄弟。

1.4 結點的層數和樹的深度

結點的層數從樹根開始定義，根結點爲第1層，它的孩子結點爲第2層，以此類推。樹中全部結點的最大層數稱爲樹的深度或高度。

1.5 有序樹和無序樹

若樹中各結點的子樹是按照必定的次序從左向右安排的，則稱之爲有序樹，不然稱之爲無序樹。

1.6 森林

森林是m(m≥0)棵互不相交的樹的集合。

2. 樹的性質

2.1 樹中的結點數等於全部結點的度數加1。

2.2 度爲k的樹中第i層上至多有k^i-1個結點(i≥1)。

2.3 深度爲h的k叉樹至多有(k^h-1)/(k-1)個結點。

當一棵k叉樹上的結點數等於(k^h-1)/(k-1)時，則稱該樹爲滿k叉樹。

2.4 具備n個結點的k叉樹的最小深度爲⌈log_k(n(k-1)+1)⌉。

 ⌈⌉爲向上取整符號。

3. 滿二叉樹和徹底二叉樹

3.1 當樹中的每一層都滿時，則稱此樹爲滿二叉樹。

3.2 在一棵二叉樹中，除最後一層外，若其他層都是滿的，而且最後一層或者是滿的，或者是在右邊缺乏連續若干個結點，則稱此樹爲徹底二叉樹。

　　3.3 滿二叉樹必定是徹底二叉樹，徹底二叉樹不必定是滿二叉樹。

4. 二叉樹的性質

4.1 二叉樹上葉子結點數等於雙分支結點數加1。

4.2 二叉樹上第i層上至多有2^i-1個結點(i≥1)。

4.3 深度爲h的二叉樹至多有2^h-1個結點。

4.4 具備n個(n>0)結點的徹底二叉樹的深度爲⌈log₂(n+1)⌉或⌊log₂(n)⌋+1。

5. 理想平衡二叉樹

在一棵二叉樹中，若除最後一層外，其他層都是滿的，而最後一層上的結點能夠任意分佈，則稱此樹爲理想平衡二叉樹，簡稱理想平衡樹或理想二叉樹。顯然理想平衡樹包含滿二叉樹和徹底二叉樹。